Wiki. 群作用 [群作用]
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定义
生象群与一般范畴的对象
对于生象群 $G$ 与范畴 $\mathcal C$ 的对象 $X$, 定义 $G$ 在 $X$ 上的作用为函子 $\mathbf{B}G\to\mathcal C$.
当然, 充实范畴中的对象也有类似概念.
一般范畴中的群
对于范畴 $\mathcal C$ 中的群 $G$, 定义 $G$-作用为单纯对象 $$ X /\!\!/ G = (\cdots X\times G\times G \to^3 X\times G \rightrightarrows X ) $$ 以及态射 $$ X /\!\!/ G \to * /\!\!/ G. $$
意象中的群
在 $\infty$-意象 $\mathcal C$ 中, 群 $G$ 的作用等同于指向 $\mathbf{B}G$ 的映射, 即俯意象 $\mathcal C_{/ \mathbf{B}G}$ 的对象; 而由意象的下降性质有 $$ \mathcal C_{/\mathbf{B}G} \simeq \operatorname{lim}\Big( \mathcal C \rightrightarrows \mathcal C_{/G} \to^3 \mathcal C_{/G\times G}\cdots \Big), $$ 于是 $\mathcal C_{/\mathbf{B}G}$ 的对象等同于单纯对象 $$ X /\!\!/ G = (\cdots X\times G\times G \to^3 X\times G \rightrightarrows X ). $$
性质
生象群 $G$ 在生象 $X$ 上的作用的不动点为 $$ X^G := \operatorname{lim}_{\mathbf{B}G}X = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G}}(\mathbf{B}G,X/G); $$ 余不动点 (即群作用的商) 为 $$ X_G := \operatorname{colim}_{\mathbf{B}G}X = X/G= \operatorname{colim} X /\!\!/ G, $$ 即是单纯对象 $$ (\cdots X\times G\times G \to^3 X\times G \rightrightarrows X ) $$ 的几何实现.
例
群在自身上的共轭作用