Wiki. 共轭作用 [共轭作用]

生象群 $G$ 的共轭作用 (又叫伴随作用 $\mathrm{Ad}$) 是 $G$ 在自身上的一个作用, 可定义为 $G\times G$ 在 $G$ 上的左乘右乘作用沿对角线 $\Delta\colon G\to G\times G$ 的拉回. $G\times G$ 在 $G$ 上的左乘右乘作用由逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 的对角线给出: $$ \begin{array} {c} G/(G\times G)=\mathbf{B}G\\ \downarrow{\scriptsize \Delta}\!\!\!\\ \mathbf{B}G\times\mathbf{B}G \end{array} $$ 从而共轭作用的商 $G/_{\mathrm{Ad}}G$ 是 $\mathbf{B}G$ 的对角线 $\Delta_{\mathbf{B}G}$ 沿 $\Delta$ 自身的拉回. $$ \begin{array} {ccc} G /_{\mathrm{Ad}} G & \to & \mathbf{B}G\\ \downarrow & & \downarrow{\scriptsize \Delta}\!\!\! \\ \mathbf{B}G & \underset{\Delta}{\to} & \mathbf{B}G\times\mathbf{B}G \end{array} $$ 注意到由 $S^1$ 的表现 $S^1 = *\sqcup_{*\sqcup *} *$, 前述拉回也等同于 $S^1$ 到 $\mathbf{B}G$ 的映射空间: $$ G /_{\mathrm{Ad}} G = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(S^1,\mathbf{B}G). $$

一般地, 对于群同态 $\phi\colon A\to G$, 有 $A$ 在 $G$ 上的共轭作用, 其商 $G /_{\mathrm{Ad}} A$ 为如下拉回. $$ \begin{array} {ccc} G /_{\mathrm{Ad}} A & \to & \mathbf{B}G\\ \downarrow & & \downarrow{\scriptsize \Delta}\!\!\! \\ \mathbf{B}A & \underset{(\mathbf{B}\phi,\mathbf{B}\phi)}{\to} & \mathbf{B}G\times\mathbf{B}G \end{array} $$ 当然, 这个作用就是 $G$ 在 $G$ 上的共轭作用沿着群同态 $\phi\colon A\to G$ 的拉回.

例