Wiki. 相对位置 [相对位置]

设群 $G$ 可迁地作用于集合 $S$, 那么 $S$ 的两个元素有一个相对位置的概念, 即有一个映射 $p\colon S\times S\to P$, 其中 $P$ 是所有可能的相对位置的集合, 满足

• $p(s,s') = p(gs,gs')$ ($s,s'\in S, g\in G$), 即群作用不改变两个元素的相对位置;
• 对任意映射 $q\colon S\times S \to Q$, 若 $q(s,s') = q(gs,gs')$ ($s,s'\in S, g\in G$), 则 $q$ 唯一地穿过 $p$, 即若两个元素的某种关系被群作用保持, 那么这种关系一定仅依赖于相对位置.

上面的冗长描述仅仅是为了建立一种直观; 在数学上, “相对位置的集合” 不过是商集 $$ P = G \backslash (S \times S). $$

通常这个故事不是从集合 $S$, 而是从 $G$ 的一个子群 $H$ 开始的; 此时集合 $S$ 是陪集空间 $G/H$, 换言之 $H$ 是 $s_0\in S$ 的稳定子群. 那么 “相对位置的集合” 就是双陪集空间 $$ P = G \backslash ((G/H)\times (G/H)) \simeq H\backslash G / H. $$

例

对于 Lie 群 $G$ 的 Borel 子群 $B$, 陪集空间 $G/B$ 常称作旗流形 (flag manifold).

旗流形这个名称来源于如下特殊情况: $G=\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, $B$ 为上三角矩阵的子群, $G/B$ 的元素等同于 $\mathbb{R}^n$ 的一个旗, 即一列子空间 $0=V_0\subset V_1\subset\cdots\subset V_n=\mathbb{R}^n$, 其中 $\dim V_i = i$. 这时两个旗的相对位置给出置换群 $S_n$ 的一个元素.

更一般地, $$ B \backslash G / B \simeq W $$ 为 $G$ 的 Weyl 群.