Wiki. 旗流形 [旗流形]
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定义
$\mathrm{GL}_n$
$n$ 维线性空间 $V$ 中的一个旗即一列子空间 $$ V_\bullet = (0\subset V_1 \subset\cdots\subset V_n=V), $$ 其中 $\dim V_i = i$.
令 $G=\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, $B$ 为上三角矩阵的子群, 那么 $\mathbb{R}^n$ 的旗等同于陪集空间 $G/B$ 的元素.
代数群
对于代数群 $G$,
- 旗簇 $\mathrm{Fl}$ 同构于任何一个 Borel 子群 $B$ 的陪集空间 $G/B$.
- 旗簇 $\mathrm{Fl}$ 可视为 $G$ 的 Borel 子群的模空间, 这就是说 $\mathrm{Fl}$ 的点一一对应于 $G$ 的 Borel 子群.
- 群 $G$ 作用于旗簇 $\mathrm{Fl}$ 上,
- 一种看法将 $\mathrm{Fl}$ 的一个点视为一面旗子 (在 $\mathrm{GL}_n$ 的情形就是完整的旗子), 则一面旗子的稳定子群是一个 Borel 子群.
- 另一种看法是 $G$ 共轭作用于 Borel 子群的模空间上.
- 固定一个 Borel 子群 $B$, 有一个同构 $G/B\to \mathrm{Fl}$, $x \mapsto xBx^{-1}$.
对于 Weyl 群的元素 $w$ 有一个局部闭子簇 $BwB$, 即 $w$ (提升后视为中心化子 $N_G(T)$ 的元素) 在 $(B, B)$-作用下的轨道.