Wiki. “Weyl 群” [Weyl群]

定义

Lie 群的极大环面的 Weyl 群

紧 Lie 群的 Weyl 群是其极大环面 $H$ 的正规化子的商 $$ W = N(H)/H, $$ 其中 $N(H)$ 是 $H$ 的正规化子.

一个重要的观察是 Weyl 群共轭作用在极大环面 $T$ 上, 且这个作用有效 (effective), 即单位元素外每个元素的作用非平凡.

Lie 群的任意子群的 Weyl 群

对任意的子群 $H\subset G$ 也可以定义 Weyl 群 $W_GH := N(H)/H$.

The Weyl group is the maximal group which canonically acts on $H$-fixed points of a topological $G$-space.

Weyl 群 $W_GH$ 是陪集空间 $G/H$ 在 $G$ 的轨道范畴中的自同构群.

Lie 代数

设 $\mathfrak g$ 为 Lie 代数, $\mathfrak h$ 为 Cartan 子代数, Weyl 群 $W\subset GL(\mathfrak h^*)$ 由 $\{s_\alpha: \alpha\in\Phi\}$ 生成, 其中 $s_\alpha$ 是关于根 $\alpha$ 的正交补空间的反射.

例

$\mathrm {U}(n)$ 的极大环面是 $T=\{\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},\cdots,e^{i\theta_n})\}$, 其 Weyl 群通过置换特征值作用在 $T$ 上, 故 Weyl 群为置换群 $S_n$.

$\mathrm {SU}(n)$ 的 Weyl 群仍为置换群 $S_n$.

$\mathrm {SO}(2n+1)$ 的 Weyl 群为 $(\mathbb{Z}/2)^n \rtimes S_n$.

$\mathrm {SO}(2n)$ 的 Weyl 群为