Wiki. “Cartan 子代数” [Cartan子代数]
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定义
设 $\mathfrak g$ 为 Lie 代数. 定义 $\mathfrak g$ 的 Cartan 子代数为满足如下条件的子代数 $\mathfrak h\leq \mathfrak g$:
- $\mathfrak h$ 是幂零 Lie 代数;
- $\mathfrak h$ 的正规化子是自身.
例
紧 Lie 群的 Lie 代数
设 $G$ 为紧 Lie 群, $\mathfrak g$ 为 $G$ 的 Lie 代数, 则 $\mathfrak g$ 的 Cartan 子代数对应 $G$ 的极大环面.
性质
三角分解
对于 Lie 代数 $\mathfrak g$ 的 Cartan 子代数 $\mathfrak h$, 有三角分解 $$ \mathfrak g = \mathfrak n_- \oplus \mathfrak h \oplus \mathfrak n_+. $$ 其泛包络代数具有 (线性空间) 同构 $$ U\mathfrak g\simeq U\mathfrak n_- \otimes U\mathfrak h\otimes U\mathfrak n_+. $$
Borel 子代数
固定 Cartan 子代数以及 Borel 子代数 $$ \mathfrak h\subset \mathfrak b \subset \mathfrak g $$ 相当于固定 $\mathfrak g$ 的一个根, 以及其中的正根系.
$\mathfrak b = \mathfrak h\oplus \mathfrak n$, $\mathfrak n=[\mathfrak b,\mathfrak b]$.
权
设 $M$ 是 $\mathfrak g$ 的表示. 对于 $\lambda\in \mathfrak h^*$, 定义权空间 (weight space) $$ M_\lambda = \{m\in M: hm=\lambda(h)m\forall h\in\mathfrak h\}. $$ 若 $M$ 等于所有 $M_\lambda$ 的直和, 则称其为权模 (weight module).