Wiki. “范畴 O” [范畴O]

#几何表示论

BGG 范畴 O 由 Bernstein–Gelfand–Gelfand 定义. 固定 Lie 代数 $\mathfrak g$ 的 Cartan 子代数 $\mathfrak h$ 以及 Borel 子代数 $\mathfrak b$, 定义 $\mathcal O$ 是由如下 $\mathfrak g$-模 $M$ 组成的范畴:

1. $M$ 在 $U\mathfrak g$ 上有限生成;
2. $M$ 为权模;
3. $\mathfrak n$ 的作用局部有限, 即对任意 $v\in M$, $(U\mathfrak n) v$ 是有限维的.

例

Verma 模.

所有有限维表示属于范畴 $\mathcal O$.

反例

$U\mathfrak g$ 作为自身的左模不属于范畴 $\mathcal O$.

伴随表示不属于 $\mathcal O$.

性质

$\mathcal O$ 对子模封闭.

任何 $M\in\mathcal O$ 是 Noether 模.

范畴 $\mathcal O$ 是 Abel 范畴.

范畴 $\mathcal O$ 的每个对象都是 Verma 模的有限次接续扩张的商.

范畴 $\mathcal O$ 分裂为块 (范畴 O)的直和.

投射对象

范畴 $\mathcal O$ 有足够多投射对象.