Wiki. “Borel 子代数” [Borel子代数]
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定义
Lie 代数的 Borel 子代数是其极大可解 Lie 代数子代数.
给定一个根系, 以及正根的概念, 可定义分解 $$ \mathfrak g=\mathfrak n^-\oplus\mathfrak h\oplus\mathfrak n^+, $$ 其中 $$ \mathfrak n^+ = \sum_{\alpha>0}\mathfrak g_{\alpha}. $$ 此时 $\mathfrak b=\mathfrak h\oplus\mathfrak n^+$ 为 Borel 子代数.
例
$\mathfrak {gl}_n(\mathbb{C})$ 的 Borel 子代数 $\mathfrak b$ 是上三角矩阵构成的子代数.
性质
有短正合列 $$ 0 \to \mathfrak n \to \mathfrak b \to \mathfrak h \to 0. $$ 且其中 $\mathfrak n = [\mathfrak b,\mathfrak b]$.