Wiki. “泛包络代数” [泛包络代数]

默认所有 Lie 代数是有限维的.

Lie 代数 $\mathfrak g$ 的泛包络代数 (universal enveloping algebra) 可定义为 $$ U\mathfrak g = T\mathfrak g\Big/ \left<xy-yx-[x,y]\right>. $$

$U\mathfrak g$ 的中心记为 $Z\mathfrak g$, 它同构于 $\mathfrak h$ 上多项式函数在 Weyl 群作用的不变多项式 $\mathbb{C}[\mathfrak h^*]^W$.

关联分次代数

$U\mathfrak g$ 的关联分次代数 $\operatorname{gr}U\mathfrak g$ 中, $x,y\in\mathfrak g$ 满足 $\bar x \bar y = \bar y \bar x$, 因为 “一次项被模掉了”.

定理 (Poincaré–Birkhoff–Witt)

态射 $T\mathfrak g\to U\mathfrak g$ 诱导了同构 $\operatorname{Sym}\mathfrak g\to \operatorname{gr}U\mathfrak g$, 且对 $\mathfrak g$ 的任意一组基 $x_1,\cdots,x_n$, $U\mathfrak g$ 有一组基 $$ \{x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}: m_i\in\mathbb N\}. $$

性质

$U\mathfrak g$ 的所有左理想和有理想都是有限生成的, 即同时有左右 Noether 性.

$\mathcal U\mathfrak g$ 是 Hopf 代数.

$U\mathfrak g$-模范畴是 Abel 范畴.

泛包络代数的中心

Harish–Chandra 同构

$U\mathfrak g$ 的中心 (作为代数) 满足 $$ Z(U\mathfrak g) \simeq \operatorname{Sym}(\mathfrak h)^W. $$

量子化

$U\mathfrak g$ 可视为 $\operatorname{Sym}\mathfrak g\simeq \mathbb{C}[\mathfrak g^*]$ 的形变量子化, 而其中心 “总是 $G$-不变的” $Z(U\mathfrak g)\simeq \mathbb{C}[\mathfrak h^*]^W \simeq \mathbb{C}[\mathfrak g^*]^G$.

因为 $G$ 在 $U\mathfrak g$ 上的作用保持滤过, 对短正合列 $$ 0 \to F^{i-1}U\mathfrak g \to F^i U\mathfrak g \to \operatorname{Sym}^i\mathfrak g \to 0 $$ 用 $G$-不变函子 (在有限维 $\mathfrak g$ 表示范畴上正合), 我们得到 $$ \operatorname{gr}Z(\mathfrak g)\simeq (\operatorname{Sym}^i\mathfrak g)^G\simeq (\operatorname{Sym}^i\mathfrak h)^W. $$ (后一个同构是 Chevalley 同构.)