Wiki. 滤对象 [滤过]
Wiki. 滤对象 [滤过]
本页讨论一般 $(\infty,1)$-范畴中的滤对象. 另见 $1$-范畴中的滤对象.
定义
范畴 $\mathcal C$ 中的滤对象 (filtered object) 是一个序列 $$ X_\bullet = (\cdots\to X_{-1}\to X_0 \to X_1\to \cdots), $$ 即偏序集 $(\mathbb Z,\leq)$ 到范畴 $\mathcal C$ 的函子. 另一种形式的滤对象是 $$ X^\bullet = (\cdots \to X_{1} \to X_0 \to X_{-1}\to\cdots), $$ 即 $\mathbb Z^{\mathrm{op}}$ 到 $\mathcal C$ 的函子. 为了区分两种形式的滤对象, 可分别称之为上升滤对象和下降滤对象.
有时我们想象滤对象中的态射为单射 (含入映射), 但一般 (尤其在 ∞-范畴语境中) 不需要这个条件.
范畴 $\mathcal C$ 中一个对象 $X$ 的滤过 (filtration) 是指一个滤对象 $X_\bullet$, 满足 $X\simeq\operatorname{colim}X_\bullet$.
例
对于 CW 复形 $X$, 有滤过 $$ \operatorname{sk}_0X \to \operatorname{sk}_1X \to \cdots. $$
Lie 代数 $\mathfrak g$ 的泛包络代数 $U\mathfrak g$ 有自然的滤过 $$ (U\mathfrak g)_0 \hookrightarrow (U\mathfrak g)_1 \hookrightarrow (U\mathfrak g)_2\hookrightarrow\cdots. $$
流形 (概形) $X$ 上的微分算子层 $\mathcal D_X$ 有自然的滤过 $$ (\mathcal D_X)_0 \hookrightarrow (\mathcal D_X)_1 \hookrightarrow (\mathcal D_X)_2 \hookrightarrow\cdots. $$
典范滤过
链复形范畴或导出范畴的对象, 即链复形 $$ X = (\cdots\to X_1\to X_0 \to X_{-1}\to\cdots) $$ 具有典范的上升滤过 (todo: 方向合理吗) $$ \tau_{\leq i} X= (\cdots\to 0 \to \operatorname{cofib}(X_{i+1}\to X_i) \to X_{i-1}\to X_{i-2}\to \cdots). $$ 以及典范的下降滤过 $$ \tau_{\geq i} X= (\cdots\to X_{i+2}\to X_{i+1} \to \operatorname{fib}(X_{i}\to X_{i-1}) \to 0\to \cdots). $$
性质
谱序列
设 $\mathcal C$ 为稳定范畴, 带有 t 结构且其心为 Abel 范畴 $\mathcal A$. 那么对 $\mathcal C$ 中的滤对象 $X$ 可构造 $\mathcal A$ 中的谱序列. 见滤对象的谱序列.