Wiki. Ran 空间 [Ran空间]

观念

一个空间的 Ran 空间, 粗略地说是其中有限点集的模空间; 这个有限点集没有顺序; 当两个或更多的点在某处重合时, 等同于在此处只有一个点.

空间 $X$ 的 Ran 空间 $$ \operatorname{Ran}X \text{ ``='' } 1 + X + \frac{X^2}{S_2} + \frac{X^3}{S_3} + \cdots $$ 类似于实数 $x$ 的指数 $$ \exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots. $$

定义

记 $\mathsf{Fin}^{\mathrm{surj}}$ 为有限集与满射构成的范畴. 那么空间 $X$ 的 Ran 空间可定义为 $$ \operatorname{Ran} X := \operatorname{colim}_{I\in \mathsf{Fin}^{\mathrm{surj}}} X^I. $$

注意. 有限集 $I$ 的置换 (自同构) 也是范畴 $\mathsf{Fin}^{\mathrm{surj}}$ 的态射. 这意味着映射 $X^n \to \operatorname{Ran}X$ 穿过商空间 $X^n / S_n$.

性质

幺半群

空间 $X$ 上的 Ran 空间是 $X$ 生成的幺半群: 有 “并” 映射 $$ \operatorname{Ran}X \times \operatorname{Ran}X \to \operatorname{Ran}X. $$

滤

Ran 空间 $\operatorname{Ran}X$ 带有滤过, $$ (\operatorname{Ran}X)_n = \operatorname{Sym}^nX:= X^n / S_n. $$