Wiki. 分解空间 [分解空间]

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观念

给定空间 $X$ 上的分解空间, 直观地说是由 $X$ 参数化的空间 $\mathcal Y_x\,(x\in X)$, 且带有额外的结构, 描述 $X$ 上的两个点 $x_1,x_2$ “融合” 到一起时, 其上的纤维 $\mathcal Y_{x_1}$, $\mathcal Y_{x_2}$ 的点如何 “融合”.

参考 GLC2 附录 B.

分解空间的一个 “范畴化” 是分解范畴.

定义

设 $X$ 为概形, 记 $\operatorname{Ran} := \operatorname{Ran}X$ 为 $X$ 的 Ran 空间, 即 $X$ 上有限点集的模空间. 定义 $X$ 上的分解空间 $\mathcal Y$ 为如下资料:

预叠 $\mathcal Y_{\operatorname{Ran}} \to \operatorname{Ran}$;
同构 $\mathcal Y_{\operatorname{Ran}}\times_{\operatorname{Ran}}(\operatorname{Ran}\times\operatorname{Ran})_{\mathrm{disj}} \simeq (\mathcal Y_{\operatorname{Ran}}\times \mathcal Y_{\operatorname{Ran}})\times_{\operatorname{Ran}\times\operatorname{Ran}}(\operatorname{Ran}\times\operatorname{Ran})_{\mathrm{disj}}$, 以及更高阶的表达交换律和结合律的融贯数据.

另一个定义是

$\mathcal Y_{\operatorname{Ran}}=\operatorname{colim}_{I \in \mathsf{Fin}^{\mathrm{surj}}}\mathcal Y_{X^I}$, 其中 $\mathcal Y_{X^I} \to X^I$ 为 $X^I$ 上的预叠;
…

性质

设 $\mathcal Y$ 为分解空间, 对于映射 $Z \to \operatorname{Ran}$, 记 $\mathcal Y_Z$ 为基变换 $$ \mathcal Y_Z := Z \times_{\operatorname{Ran}} \mathcal Y_{\operatorname{Ran}}. $$ 特别地, 当 $Z \to \operatorname{Ran}$ 为一点 $\underline{x} \in\operatorname{Ran}$ 时, 记之为 $\mathcal Y_{\underline{x}}$.

由定义, 对不交的映射 $Z\to \operatorname{Ran}$, $W\to\operatorname{Ran}$, 有等价 $$ \mathcal Y_{Z\sqcup W} = \mathcal Y_Z \times \mathcal Y_W, $$ 特别地 $$ \mathcal Y_{\underline{x}} = \prod_i \mathcal Y_{x_i}. $$

例

仿射 Grassmann 空间 $\mathrm{Gr}_G$ 可赋予分解空间的结构. 回忆, 仿射 Grassmann 空间 $\mathrm{Gr}_G$ 是如下对象的模空间: 形式圆盘 $D$ 上的 $G$-主丛, 带有去心圆盘上的平凡化.

作为分解空间, $\mathrm{Gr}_G$ 在 $\underline{x}\in\operatorname{Ran}X$ (视为 $X$ 的有限点集) 上的纤维是如下对象的模空间: $X$ 上的 $G$-主丛, 带有 $X \backslash \underline{x}$ 上的平凡化.