Wiki. 分解范畴 [分解范畴]

观念

给定空间 $X$ 上的分解范畴 (factorization category) 是分解空间的 “范畴化”, 直观地说是由 $X$ 参数化的一族范畴 $\mathcal C_x$, 且带有额外的结构, 描述 $X$ 上的两个点 $x_1,x_2$ “融合” 到一起时, 其上的纤维 $\mathcal C_{x_1}$, $\mathcal C_{x_2}$ 的对象如何 “融合”.

复曲线上的分解范畴类似于辫幺半范畴.

定义

参考 GLC2 附录 B.

设 $\mathcal Y$ 为 (局部有限型) 预叠, 定义 $\mathcal Y$ 上的范畴层 (sheaf/crystal of categories) $\mathcal C$ 为如下资料:

• 对每个来自 (有限型) 仿射概形的映射 $y\colon S \to \mathcal Y$, 赋予一个 $D(S)$-模 $\mathcal C_y$, 其中 $D(S)$ 上的对称幺半结构为 $\otimes^!$.
• 对仿射概形的映射 $f\colon S_1 \to S_2$, 指定一个同构 $\mathcal C_{y_1} \simeq D(S_1)\otimes_{D(S_2)}\mathcal C_{y_2}$, 其中 $y_1 = y_2 f$, 对称幺半函子 $D(S_2)\to D(S_1)$ 为 $f^!$.

预叠 $\mathcal Y$ 上的范畴层构成 $2$-范畴 $\mathsf{ShCat}(\mathcal Y)$. 有自然的函子 $$ \Gamma(\mathcal Y,-) \colon \mathsf{ShCat}(\mathcal Y) \to D(\mathcal Y)\text{-}\mathsf{Mod}, $$

分解范畴是 Ran 空间上的范畴层 $\mathcal C$, 带有等价 $$ \mathrm{union}^*(\mathcal C)|_{\mathrm{disj}} \simeq (\mathcal C\boxtimes\mathcal C)_{\mathrm{disj}} $$ 以及更高阶融贯数据. 其中 $\mathrm{disj}$ 是 $\operatorname{Ran}\times\operatorname{Ran}$ 中 “两个不相交的点集” 构成的子空间.

展开来讲, 一个分解范畴对每个有限集 $I$ 指定一个 $D(X^I)$-模 $\mathcal C_{X^I}$, 并对每个满射 $\phi\colon I\twoheadrightarrow J$ 指定函子 $\Delta_\phi^! \colon \mathcal C_{X^I} \to \mathcal C_{X^J}$, 与 $\Delta_\phi^! \colon D(X^I) \to D(X^J)$ 相容, 且使得 $D(X^J)\otimes_{D(X^I)}\mathcal C_{X^I} \simeq\mathcal C_{X^J}$.

例

最基本的例子

记 $\underline{D}(\mathcal Y)$ 为 $\mathcal Y$ 上的范畴层 $(y\colon S\to \mathcal Y) \mapsto D(S)$.

那么, $\operatorname{Ran}$ 上的范畴层 $\underline{D}(\operatorname{Ran})$ 本身即构成一个分解范畴, 记为 $\mathsf{Vect}$.

分解空间

设 $\mathcal T$ 为分解空间, 则有分解范畴 $D(\mathcal T)$: $$ (\underline{x}\colon S \to \operatorname{Ran})\mapsto D(\mathcal T_{\underline{x}}). $$