Wiki. 分解代数 [分解代数]

观念

分解代数是一个算畴上的代数, 这个算畴类似于小方块算畴, 但是嵌入在特定的空间中.

定义

预分解代数

设 $X$ 为拓扑空间. 考虑如下算畴 $\mathsf{Fact}_X$:

• 其对象为 $X$ 的开集;
• 多重态射集 $\operatorname{Hom}((U_i),V)$ 仅当 $U_i$ 互相不交且包含于 $V$ 时为单点集, 否则为空集.

称 $\mathsf{Fact}_X$ 上的代数为预分解代数.

作为 Ran 空间上的对象

设 $\mathcal C$ 为空间 $X$ 上的分解范畴. 定义 $\mathcal C$ 中的分解代数 $A$ 为如下资料:

• 对象 $A\in\mathcal C_{\mathrm{Ran}}$,
• 等价 $\mathrm{union}^!(A)\simeq A\boxtimes A$, 其中 $\mathrm{union} \colon (\mathrm{Ran}\times\mathrm{Ran})_{\mathrm{disj}}\to\mathrm{Ran}$ 是 “两个不交的有限点集的并”, 左端是 $\mathrm{union}^*(\mathcal C)|_{\mathrm{disj}}$ 的对象, 而右端是 $(\mathcal C\boxtimes\mathcal C)_{\mathrm{disj}}$ 的对象.

通常的分解代数是这种定义的 $\mathcal C=\mathsf{Vect}$ 的特例.

作为参数化算畴上的代数

要将 (代数几何中的) 分解代数实现为一个算畴上的代数, 可以考虑一个 $\mathsf{Aff}$ 上的参数化算畴…