Wiki. 算畴 [算畴]
Wiki. 算畴 [算畴]
观念
一个算畴表达了对称幺半范畴的对象上可能具有的一族多元运算, 以及运算之间的关系. 将一个算畴中记录的运算, 按照规定的关系, 实现 (解读) 到某个具体范畴中的方法称为算畴上的代数.
定义
作为多重范畴
有色算畴 (colored operad) 等同于多重范畴 (multicategory). 所谓多重范畴就是一族对象之间带有 “多个对象到一个对象的态射” $$ \operatorname{Hom}(X_1,X_2,\cdots,X_n ; Y). $$
算畴种的 “颜色” 即是多重范畴中的对象. 当多重范畴仅有一个对象时, 称之为单色算畴. 不同文献中对算畴是否默认为单色有不同的约定.
对称算畴 (symmetric operad) 是指多重范畴中的 $\operatorname{Hom}$ 带有对称群的作用, 即对 $\sigma\in S_n$ 有相容的同构 $\operatorname{Hom}(X_1,\cdots,X_n ; Y) \simeq \operatorname{Hom}(X_{\sigma(1),\cdots,\sigma(n)};Y)$.
上面定义的是 $\mathsf{Ani}$ 上的算畴. 对于一般对称幺半范畴 $\mathcal C$, 也可定义相应的 “充实多重范畴” 作为 $\mathcal C$ 上的算畴的概念.
作为对称序列
单色对称算畴作为多重范畴, 其包含的信息等同于一个带对称群作用的序列, 称为对称序列 (symmetric sequence). 事实上, 单色对称算畴是对称序列的范畴中的结合代数.
具体地, 给定对称幺半范畴 $(\mathcal V,\otimes,1)$, 一个 $\mathcal V$-值的 (对称) 算畴 $C$ 为如下资料:
- “$n$ 元运算的参数空间”, 对象 $C(n) \in \mathcal V$,
- “恒等运算”, 态射 $1\to C(1)$,
- “运算的复合”, 即态射 $C(k)\otimes C(j_1)\otimes\cdots\otimes C(j_k)\to C(j_1+\cdots+j_k)$,
- $C(n)$ 上对称群 $\Sigma_n$ 的作用,
满足
- 结合律, 幺元律,
- 与对称群作用相容.
给定算畴 $C$, 一个 $C$-代数是指一个对象 $A$, 以及 $\Sigma_j$-等变的态射 $C(j)\otimes A^{\otimes j}\to A$, 满足适当的结合律, 幺元律.
线性空间的对称序列
$k$-线性空间的对称序列构成的范畴是 $$ \mathsf{Vect}^\Sigma:= \mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}^{\simeq},\mathsf{Vect}) \simeq \prod_{n\geq 1} \mathsf{Rep}(\Sigma_n). $$ 它也是由一个对象生成的自由对称幺半 DG 范畴. 见 Gaitsgory–Rozenblyum 导出代数几何讲义 (关于 Lie 代数与 Koszul 对偶的一节). 换言之, 它是遗忘函子 $U\colon \mathsf{DGCat}^{\text{SymMon}} \to \mathsf{Cat}$ 的表示对象. 因此由 $(\infty,2)$-范畴版本的米田引理, $$ \mathsf{Vect}^\Sigma \simeq \mathsf{Fun}^{\text{SymMon}}(\mathsf{Vect}^\Sigma,\mathsf{Vect}^\Sigma) \simeq \operatorname{End}(U). $$
作为算子范畴
算畴 $\mathcal C$ 也可定义为其算子范畴 (category of operators) $\mathcal C^\otimes$. 它的对象为颜色的序列, 态射为 “算子”, 该算畴中的一个 $k$ 元运算给出 $k$ 个颜色的序列到一个颜色的态射. 这个范畴类似于 (一阶理论的) 语法范畴, 具有万有 $\mathcal C$-代数.
记 $\mathsf{Fin}_{*}$ 为有限带基点集合 $\langle n \rangle := \{*,1,\cdots,n\}$ 和保基点映射构成的范畴. 设 $\mathcal C$ 为算畴, 定义 $\mathsf{Fin}_*$ 上的一个范畴 $\mathcal C^{\otimes}$,
- $\mathcal C^{\otimes}$ 在 $\langle n \rangle$ 上的对象为颜色的 $n$ 元组 $(X_1,\cdots,X_n)$;
- 态射 $(X_1,\cdots,X_n) \to (Y_1,\cdots,Y_m)$ 是一个保基点映射 $\phi\colon \langle n \rangle \to \langle m\rangle$, 以及多重范畴 $\mathcal C$ 中的多重映射 $$ f_i \in \operatorname{Hom}((X_j)_{j\in\phi^{-1}(i)}; Y_i)\,(1\leq i\leq m). $$
如下条件刻画了一个 $\mathsf{Fin}_*$ 上的范畴 $p \colon \mathcal O^\otimes\to\mathsf{Fin}_*$ 何时来自一个算畴. 记 $\mathcal O^\otimes_{\langle n\rangle}$ 为 $p$ 在 $\langle n\rangle\in\mathsf{Fin}_*$ 上的纤维, 即想象中的 “颜色 $n$ 元组”.
- $\mathsf{Fin}_*$ 中的惰性映射 $f \colon \langle n\rangle \to\langle m\rangle$ (惰性是指除 $*$ 以外, 每个点的原像均为单点) 总能提升为推前, 给出函子 $f_!\colon \mathcal O^\otimes_{\langle n\rangle} \to \mathcal O^\otimes_{\langle m\rangle}$.
- 对任意 $f\colon \langle n\rangle \to \langle m\rangle$, 如下映射为等价: $$ \mathcal O^\otimes_{f}(X,Y)\to\prod_{k=1}^m \mathcal O^\otimes_{\rho_i f}(X,(\rho_i)_! Y), $$ 其中 $\rho_i\colon \langle m\rangle\to\langle 1\rangle$ 将 $i$ 映射到 $1$, 其它元素映射到 $*$.
- $(\rho_i)_!\colon \mathcal O^\otimes_{\langle n\rangle} \to \mathcal O^\otimes_{\langle 1\rangle}$ 给出的映射 $\mathcal O^\otimes_{\langle n\rangle} \to \big(\mathcal O^\otimes_{\langle 1\rangle}\big)^n$ 为等价.
性质
代数范畴作为算畴
算畴之间的态射也称为一个算畴 $\mathcal O$ 在另一个算畴 $\mathcal P$ 中的代数, 其构成的范畴记为 $\mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal P)$. 如同范畴之间的态射空间可升级为范畴一样, 算畴之间的态射空间也可升级为算畴: 多重映射 $(A_i) \to B$ 是对每个对象 $X \in \mathcal O$ 指定 $\mathcal P$ 中一个多重映射 $(A_i(X)) \to B(X)$, 且对 $\mathcal O$ 中任意多重映射 $(X_i) \to Y$ 有如下交换图. $$ \begin{array} {ccc} (A_i(X_j)) & \to & (A_i(Y)) \\ \downarrow & & \downarrow \\ (B(X_j)) & \to & B(Y). \end{array} $$
Boardman–Vogt 张量积
$\mathsf{Alg}_{\mathcal P}(-)$ 的左伴随是 Boardman–Vogt 张量积 $(-)\otimes \mathcal P$.
算畴 Kan 扩张
Kan 扩张 是函子范畴之间拉回的左右伴随. 类似地, 对于余完备对称幺半范畴 $\mathcal C$ 以及算畴的态射 $f\colon \mathcal O\to\mathcal P$, 在代数范畴之间也有拉回 $f^*\colon \mathsf{Alg}_{\mathcal P}(\mathcal C)\to\mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$ 的左伴随 $$ f_! \colon \mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)\to\mathsf{Alg}_{\mathcal P}(\mathcal C), $$ 称为算畴左 Kan 扩张 (operadic left Kan extension). 对于 $A\in\mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$, $P\in\mathcal P$, $$ (f_!A)(P) = \operatorname{colim}_{\alpha\colon f(O)\to P\text{活性}} \pi(\alpha)_! A(O), $$ 其中 $O\in\mathcal O^\otimes$, $\pi\colon \mathcal P^\otimes\to\mathsf{Fin}_*$.
代数范畴之间的拉回可视为遗忘函子, 而算畴左 Kan 扩张给出自由代数.
例
交换算畴
交换算畴 $\mathsf{Comm}$ 作为多重范畴仅有一个对象 $*$, 且 $\operatorname{Hom}(*^n,*) = 1$. 交换性意味着任何 $n$ 个元素有唯一的结合方式.
交换算畴的算子范畴 $\mathsf{Comm}^\otimes \to \mathsf{Fin}_*$ 就是 $\mathsf{Fin}_*$ 到自身的恒等.
交换算畴又称 E∞-算畴.
$\mathbb{E}_n$-算畴
算畴 $\mathbb {E}_n$ 是 $\mathbb {E}_1$ 的 $n$ 次 Boardman–Vogt 张量积.
算畴 $\mathbb {E}_n$ 的一种表现为小 $n$-方块算畴.
结合算畴
结合算畴 $\mathsf{Assoc}$ 作为多重范畴仅有一个对象, 且 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Assoc}}(*^n,*) = S_n, $$ 带有 $S_n$ 的自由作用. 结合性意味着 $n$ 个元素的结合由一个排列完全确定.
自同态算畴
任何一个对象 $X$ 上都有一个自同态算畴 $\mathcal {E}_X$, 且 $X$ 是 $\mathcal {E}_X$-代数.
对于算畴 $\mathcal P$, 一个对象 $X$ 上的 $\mathcal P$-代数结构等同于算畴的态射 $\mathcal P\to\mathcal {E}_X$.
模算畴
模算畴是表达 (交换, 结合等) 代数上的模的算畴.
“交换代数上的模” 算畴 $\mathsf{CM}$ 作为多重范畴有两个对象 $a,m$, 且有
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{CM}}(a^n,a) = 1$,
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{CM}}(a^{n}m,m) = 1$ (包括 $a^n m$ 的所有排列),
- 其它 $\operatorname{Hom}$ 为空.
“两个结合代数上的双模” 算畴 $\mathsf{BM}$ 作为多重范畴有三个对象 $l,m,r$, 且有
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{BM}}(l^n,l) = 1$,
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{BM}}(r^n,r) = 1$,
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{BM}}(l^p m r^q,m) = 1$ (包括 $l^p m r^q$ 的所有排列),
- 其它 $\operatorname{Hom}$ 为空.
对称幺半范畴
设 $(\mathcal C,\otimes)$ 为对称幺半范畴, 则其给出一个算畴, 不妨仍记为 $\mathcal C$. 作为多重范畴, $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_1,\cdots,X_n; Y) := \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_1\otimes\cdots\otimes X_n, Y). $$
将对称幺半范畴视为算畴的这种观点可以方便地定义算畴上的代数.
另外, 若将对称幺半范畴视为多重范畴, 那么它们之间的函子就是松对称幺半函子.
模拟余积幺半范畴
设 $\mathcal C$ 为任意范畴, 定义多重范畴 $\mathcal C^{\sqcup}$, $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\sqcup}}(X_1,\cdots,X_n;Y) := \prod_{i=1}^{n}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y). $$ 当 $\mathcal C$ 具有余积时, 这就是 $\mathcal C$ 上的余积给出的对称幺半范畴; 但它作为多重范畴的存在不需要 $\mathcal C$ 具有余积.
与单子的关系
假设对称幺半范畴 $S$ 是余完备的. 给定算畴 $\mathcal C$, 定义如下的单子 $C$, 称为 “自由 $\mathcal C$-代数” 单子. $$ CX=\coprod_{j\geq 0} \mathcal C(j)\otimes_{\Sigma_j}X^j\big/\sim, $$ 其中 $\sim$ 是一个等价关系, 以带基点空间范畴为例: 记 $\sigma_i\colon \mathcal C(j)\to\mathcal C(j-1)$ 为 “在第 $i$ 位代入基点” 的操作, $s_i\colon X^{j-1}\to X^j$ 为 “插入一个位于第 $i$ 位的基点” 的操作, 那么等价关系 $\sim$ 满足 $$ (\sigma_i c,x) \sim (c,s_ix). $$
这个构造类似于几何实现.
态射 $X\to CX$ 由 $1\otimes X\to \mathcal C(1)\otimes X$ 给出.
算畴作用 (算畴对)
设所考虑的对称幺半范畴是不带基点的空间范畴.
设有一对算畴 $(\mathcal C,\mathcal G)$, 记 $\mathcal C(0)=\{0\}$, $\mathcal G(0)=\{1\}$. 算畴 $\mathcal G$ 在算畴 $\mathcal C$ 上的作用是指映射 $$ \xi\colon \mathcal G(k)\times \mathcal C(j_1)\times\cdots\times \mathcal C(j_k) \to\mathcal C(j_1\cdot\cdots\cdot j_k), $$ 满足分配律, 幺元律, 以及等变条件. 注意右边括号内是 $k$ 个数的乘积. 这样两个算畴叫做算畴对 (operad pair).
直观: $\mathcal C$ 参数化加法, $\mathcal G$ 参数化乘法, 映射 $\xi$ 是分配律.
设空间 $X$ 带两个基点 $0,1$. 算畴对 $(\mathcal C,\mathcal G)$ 在 $X$ 上的作用包含 $\mathcal C$ 在 $(X,0)$ 上的作用与 $\mathcal G$ 在 $(X,1)$ 上的作用, 使得由 $\xi$ 给出的 “分配” 映射 $$ \xi_k\colon \mathcal G(k)\times \mathcal C(j_1)\times X^{j_1}\times\cdots\to \mathcal C(j_1\cdots j_k)\times X^{j_1\cdots j_k} $$ 满足分配律.
等价地, $(\mathcal C,\mathcal G)$-空间是 $\mathcal C$-空间范畴中的 $\mathcal G$-代数.