Wiki. “算畴” [算畴]
Wiki. “算畴” [算畴]
算畴 $C$ 表达了一族多元运算, $C(n)$ 是其中 $n$ 元运算的参数空间.
定义
作为对称序列
算畴最常用的定义是对称序列 (symmetric sequence), 这样定义的算畴也称对称算畴 (symmetric operad).
设 $(S,\otimes,1)$ 为对称幺半范畴, 如带基点空间范畴. 其上的一个算畴 (operad) $\mathcal C$ 由如下信息构成:
- “$n$ 元运算的参数空间”, 对象 $\mathcal C(n)$,
- “恒等运算”, 态射 $1\to \mathcal C(1)$,
- “运算的复合”, 即态射 $\mathcal C(k)\otimes \mathcal C(j_1)\otimes\cdots\otimes \mathcal C(j_k)\to \mathcal C(j_1+\cdots+j_k)$,
- $\mathcal C(n)$ 上对称群 $\Sigma_n$ 的作用,
满足
- 结合律, 幺元律,
- 与对称群作用相容.
给定算畴 $\mathcal C$, 一个 $\mathcal C$-代数是指一个对象 $A$, 以及 $\Sigma_j$-等变的态射 $\mathcal C(j)\otimes A^{\otimes j}\to A$, 满足适当的结合律, 幺元律.
例
交换算畴与 E∞-算畴
带基点空间范畴中, 交换算畴 $\mathcal N$ 的每个部分 $\mathcal N(j)$ 都是单点集. 这是因为, 交换性意味着任何 $j$ 个元素有唯一的结合方式.
称算畴 $\mathcal C$ 为 $E_\infty$-算畴, 是指存在态射 $\mathcal C\to\mathcal N$, 使得每个 $\mathcal C(j)\to\mathcal N(j)$ 为同伦等价.
结合算畴与 A∞-算畴
结合算畴 $\mathcal M$ 满足 $\mathcal M(j)=\Sigma_j$. 结合性意味着 $j$ 个元素的结合由一个排列完全确定.
称算畴 $\mathcal C$ 为 $A_\infty$-算畴, 是指存在态射 $\mathcal C\to\mathcal M$, 使得每个 $\mathcal C(j)\to\mathcal M(j)$ 为 $\Sigma_j$-等变同伦等价. 这个条件也说明 $\mathcal C$ 是 $\Sigma$-自由的.
见 A∞-算畴.
自同态算畴
任何一个对象 $X$ 上都有一个自同态算畴 $\mathcal {E}_X$, 且 $X$ 是 $\mathcal {E}_X$-代数.
对于算畴 $\mathcal P$, 一个对象 $X$ 上的 $\mathcal P$-代数结构等同于算畴的态射 $\mathcal P\to\mathcal {E}_X$.
与单子的关系
假设对称幺半范畴 $S$ 是余完备的. 给定算畴 $\mathcal C$, 定义如下的单子 $C$, 称为 “自由 $\mathcal C$-代数” 单子. $$ CX=\coprod_{j\geq 0} \mathcal C(j)\otimes_{\Sigma_j}X^j\big/\sim, $$ 其中 $\sim$ 是一个等价关系, 以带基点空间范畴为例: 记 $\sigma_i\colon \mathcal C(j)\to\mathcal C(j-1)$ 为 “在第 $i$ 位代入基点” 的操作, $s_i\colon X^{j-1}\to X^j$ 为 “插入一个位于第 $i$ 位的基点” 的操作, 那么等价关系 $\sim$ 满足 $$ (\sigma_i c,x) \sim (c,s_ix). $$
这个构造类似于几何实现.
态射 $X\to CX$ 由 $1\otimes X\to \mathcal C(1)\otimes X$ 给出.
算畴作用 (算畴对)
设所考虑的对称幺半范畴是不带基点的空间范畴.
设有一对算畴 $(\mathcal C,\mathcal G)$, 记 $\mathcal C(0)=\{0\}$, $\mathcal G(0)=\{1\}$. 算畴 $\mathcal G$ 在算畴 $\mathcal C$ 上的作用是指映射 $$ \xi\colon \mathcal G(k)\times \mathcal C(j_1)\times\cdots\times \mathcal C(j_k) \to\mathcal C(j_1\cdot\cdots\cdot j_k), $$ 满足分配律, 幺元律, 以及等变条件. 注意右边括号内是 $k$ 个数的乘积. 这样两个算畴叫做算畴对 (operad pair).
直观: $\mathcal C$ 参数化加法, $\mathcal G$ 参数化乘法, 映射 $\xi$ 是分配律.
设空间 $X$ 带两个基点 $0,1$. 算畴对 $(\mathcal C,\mathcal G)$ 在 $X$ 上的作用包含 $\mathcal C$ 在 $(X,0)$ 上的作用与 $\mathcal G$ 在 $(X,1)$ 上的作用, 使得由 $\xi$ 给出的 “分配” 映射 $$ \xi_k\colon \mathcal G(k)\times \mathcal C(j_1)\times X^{j_1}\times\cdots\to \mathcal C(j_1\cdots j_k)\times X^{j_1\cdots j_k} $$ 满足分配律.
等价地, $(\mathcal C,\mathcal G)$-空间是 $\mathcal C$-空间范畴中的 $\mathcal G$-代数.
算子范畴
一个算畴 $\mathcal C$ 决定了一个算子范畴 (category of operators) $\widehat {\mathcal C}$. 它的对象为颜色的序列, 态射为 “算子”, 该算畴中的一个 $k$ 元运算给出 $k$ 个颜色的序列到一个颜色的态射. 这个范畴类似于 (一阶理论的) 语法范畴, 是万有的具有 $\mathcal C$-代数的某种范畴 (“semi-cartesian monoidal category”).
参考 May, The construction of E∞ ring spaces from bipermutative categories.
记 $\mathcal F$ 为有限带基点集合 $\mathbf n=\{0,1,\cdots,n\}$ 和保基点映射构成的范畴. 范畴 $\widehat {\mathcal C}$ 以这些 $\mathbf n$ 为对象, 态射空间为 $$ \widehat {\mathcal C}(\mathbf m,\mathbf n) :=\coprod_{\phi\in\mathcal F (\mathbf m,\mathbf n)}\prod_{j=1}^n\mathcal C(|\phi^{-1}(j)|). $$ 这个范畴到 $\mathsf{Fin}_*$ 有自然的投影函子, 由此可以恢复出原本的算畴 (对称序列).