Wiki. 推前, 拉回 (纤维范畴) [推前]

对于基范畴 $\mathcal B$ 上的范畴 $p\colon \mathcal E \to \mathcal B$, 推前 (pushforward) 和拉回 (pullback) 指的是 $\mathcal B$ 中态射的有某种万有性质的提升. 具有一切推前或拉回的范畴称为纤维范畴.

范畴论拉回是上述概念的特例.

定义

设有基范畴 $\mathcal B$ 上的范畴 $p\colon \mathcal E \to \mathcal B$. 设 $\mathcal B$ 中的态射 $X\to Y$ 提升为 $\mathcal E$ 中的态射 $\tilde X\to \tilde Y$.

若对任意态射 $\tilde{Z}\to \tilde{Y}$, 任意 $Z=p(\tilde{Z})\to X$, 以及 “交换图” $$ \begin{array} {ccccc} \tilde{Z}&\to&\to\\ | &&&\searrow\\ Z&&\tilde{X}&\to &\tilde{Y}\\ &\searrow& | && |\\ &&X & \to & Y \end{array} $$ (其中上下两部分通过函子 $p$ 相联系), 存在唯一的态射 $\tilde{Z}\to\tilde{X}$ 使之交换, 则称 $\tilde{f}\colon \tilde{X}\to\tilde{Y}$ 为拉回.

称对偶 $p^{\mathrm{op}}\colon \mathcal E^{\mathrm{op}} \to\mathcal B^{\mathrm{op}}$ 中的拉回为 $p$ 中的推前.

例

对于陪域纤维化 (codomain fibration) $\mathcal B^{\to} \to \mathcal B$, 拉回态射等同于范畴论拉回.