观念
纤维范畴是沿着一个参数范畴变化的一族范畴.
由直化, 纤维范畴等同于参数范畴到范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 的函子.
定义
考虑函子 $p\colon \mathcal E \to \mathcal B$. 我们将用 $\mathcal B$ 中对象和态射的提升来陈述纤维范畴的条件.
- 若对 $\mathcal B$ 中任意态射 $f \colon X \to Y$ 以及 $X$ 的提升 $\tilde{X}$, 都有 $f$ 提升为推前 $\tilde{f}\colon \tilde{X} \to \tilde{Y}$, 则称 $p$ 为推前纤维范畴.
- 若对 $\mathcal B$ 中任意态射 $f\colon X\to Y$ 以及 $Y$ 的提升 $\tilde{Y}$, 都有 $f$ 提升为拉回 $\tilde{f}\colon \tilde{X} \to \tilde{Y}$, 则称 $p$ 为拉回纤维范畴.