Wiki. Kan 扩张 [Kan扩张]

定义

对于函子 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 以及范畴 $\mathcal E$, 有拉回函子 $$ f^*\colon \mathsf {Fun}(\mathcal D,\mathcal E)\to \mathsf {Fun}(\mathcal C,\mathcal E). $$ 左右 Kan 扩张 $$ \operatorname{LKE}_f,\operatorname{RKE}_f \colon \mathsf {Fun}(\mathcal C,\mathcal E)\to \mathsf {Fun}(\mathcal D,\mathcal E) $$ 即是 $f^*$ 的左右伴随.

性质

计算式

左右 Kan 扩张具有用余极限和极限的具体计算式: $$ \operatorname{LKE}_f (F)(d) = \operatorname{colim}_{f(c) \to d} F(c), $$ $$ \operatorname{RKE}_f (F)(d) = \operatorname{lim}_{d\to f(c)} F(c). $$

例

极限

对于指标范畴 $\mathcal I$, 沿 $\mathcal I\to 1$ 的左右 Kan 扩张 $\mathsf {Fun}(\mathcal I,\mathcal C)\to\mathcal C$ 分别为余极限和极限: $$ \operatorname{LKE} (X) = \operatorname{colim}_{i} X(i), $$ $$ \operatorname{RKE} (X) = \operatorname{lim}_{i} X(i). $$

几何实现

$|{-}|\colon \Delta\to\mathsf {Top}$ 沿米田嵌入 $\mathbf{y}\colon \Delta\to\mathsf {sSet}$ 的左 Kan 扩张 $\mathsf {sSet}\to\mathsf {Top}$ 为单纯集的几何实现: $$ |X| := \operatorname{colim}_{\Delta^n \to X} |\Delta^n|, $$ 其中 $\Delta^n = \mathbf{y}([n])$.

预层范畴之间的伴随

预层范畴之间的伴随