Wiki. “Kan 扩张” [Kan扩张]

定义

对于函子 $f\colon \mathsf A \to \mathsf B$ 以及范畴 $\mathsf C$, 有拉回函子 $f^*\colon \mathsf {Fun}(\mathsf B,\mathsf C)\to\mathsf {Fun}(\mathsf A,\mathsf C)$. 左右 Kan 扩张即是这个函子的左右伴随.

例

极限

$\mathsf B$ 为终范畴 $1$ 时, 左右 Kan 扩张 $\mathsf {Fun}(\mathsf A,\mathsf C)\to\mathsf C$ 分别为 $\mathsf A\to\mathsf C$ 的余极限和极限.

几何实现

当 $\mathsf A\to\mathsf B$ 为米田嵌入 $\Delta\to\mathsf {sSet}$ 时, 函子 $\Delta\to\mathsf {Top}$ 的左 Kan 扩张 $\mathsf {sSet}\to\mathsf {Top}$ 为单纯集的几何实现.