Wiki. “几何实现” [几何实现]
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单纯集 $X$ 的几何实现是一个拓扑空间 $|X|$, 其中 $X$ 中的每个单纯形对应一个几何单纯形, 并以适当的方式粘合.
定义
参考 Goerss–Jardine (2009): Simplicial Homotopy Theory.
单纯集 $X$ 可写成其单纯形的余极限: $$ X \simeq \lim_{\longrightarrow \atop \Delta^n\to X} \Delta^n $$ (一般地, 预层总是可以写成可表函子的余极限.) 此时 $X$ 的几何实现可以定义为 $\mathsf {Top}$ 中的余极限 $$ |X| := \lim_{\longrightarrow \atop \Delta^n\to X} |\Delta^n|. $$
推广
上述几何实现的概念有两个方向的推广.
一个方向是一般的结构在拓扑空间范畴中的实现. 设 $S$ 是一种高阶结构的几何图形的范畴, 如单纯形范畴. 函子 $\text{st}\colon S\to \mathsf {Top}$ 给出 $S$ 中形状对应的标准拓扑空间, 例如标准 $n$-单形 $\Delta[n]$. 此时, 预层 $K^\bullet \colon S^{\text{op}}\to\mathsf {Set}$ 的几何实现定义为如下的余尾 $$ |K^\bullet|=\int^{[n]\in S} \text{st}([n])\cdot K^n. $$
另一个推广是单纯集在一般的范畴中的实现. 给定余完备范畴 $\mathsf C$ (如 $\mathsf {Top}, \mathsf {Cat}$) 与函子 $F \colon \Delta \to \mathsf C$, 表示单纯形在范畴 $\mathsf C$ 中的实现, 那么存在一对伴随 $$ |{-}|_F \colon \mathsf {sSet} \rightleftarrows \mathsf C \colon \operatorname{Sing}_F, $$ 其中 $\operatorname{Sing}_F(X)_n =\operatorname{Hom}_{\mathsf C}(F([n]),X)$ 是奇异单纯集函子, 是几何实现的右伴随.
最一般的脉与实现的概念是, 给定某个几何图形的范畴 $S$ 到 $V$-充实范畴余完备范畴 $\mathsf C$ 的函子 $S_{\mathsf C} \colon S \to \mathsf C$ ($V$ 是完备的对称幺半范畴), 存在一对伴随 $$ |{-}| \colon \mathsf {Fun}(S^{\text{op}},V) \rightleftarrows \mathsf C \colon N, $$ 其中 $N$ 称为脉 (nerve).
作为 $\infty$-余极限
在 $\infty$-范畴的语境下, 单纯集 $X\colon \Delta^{\text{op}}\to\mathsf {Set}$ 的几何实现有更为简单的描述: 它是 $\Delta^{\text{op}}\overset{X}{\to}\mathsf {Set}\hookrightarrow\mathsf {Top}$ 的 ($\infty$-)余极限.
一个 $\infty$-范畴 $\mathcal C$ 的单纯对象 $X\colon \Delta^{\text{op}}\to\mathcal C$ 的几何实现定义为 $X$ 这个图的余极限.
注意, 单纯集 $X\colon \Delta^{\text{op}}\to\mathsf {Set}$ 这个图的 ($\infty$-)余极限是 $\pi_0(X)$.
性质
命题. 单纯集 $X$ 的几何实现 $|X|$ 是 CW 复形.
Kan 扩张
几何实现是一种 Kan 扩张: $$ \begin{array} {ccc} \Delta & \to & \mathsf {Top}.\\ \downarrow & \nearrow &\\ \mathsf {sSet} \end{array} $$
一般地有如下 Kan 扩张: $$ \begin{array} {ccc} S & \to & \mathsf {C}.\\ \downarrow & \nearrow &\\ \mathsf {Fun}(S^{\text{op}},V) \end{array} $$