Wiki. 几何实现 (作为米田扩张) [几何实现]
Wiki. 几何实现 (作为米田扩张) [几何实现]
观念
几何实现有两种不同的含义, 本页面介绍的是其作为沿米田嵌入的 Kan 扩张的含义. 另见几何实现 (作为单纯图表的余极限).
单纯集 $X$ 可写成其单纯形的余极限: $$ X \simeq \lim_{\longrightarrow \atop \Delta^n\to X} \Delta^n $$ (一般地, 预层总是可以写成可表函子的余极限.) 此时 $X$ 的几何实现定义为 $\mathsf {Top}$ 中的余极限 $$ |X| := \lim_{\longrightarrow \atop \Delta^n\to X} |\Delta^n|. $$ 这个过程可表述为 “几何单纯形” 函子 $\Delta \to \mathsf{Top}$ 沿米田嵌入 $\Delta\to\mathsf{sSet}$ 的左 Kan 扩张. 其中 $\Delta$ 是单纯形范畴, $\mathsf{sSet}$ 是 $\Delta$ 上的预层范畴. 当然 $\Delta$ 可以替换为任何范畴.
定义
给定余完备范畴 $\mathcal C$ 与函子 $F\colon \Delta \to \mathcal C$, 几何实现 $$ |{-}|\colon \widehat {\Delta} \to \mathcal C $$ 就是其沿米田嵌入 $\mathbf{y}\colon \Delta\to\widehat {\Delta}$ 的左 Kan 扩张: $$ |X| := \operatorname{colim}_{\mathbf{y}(d)\to X}F(d). $$
性质
命题. 单纯集 $X$ 的几何实现 $|X|$ 是 CW 复形.