Wiki. “单纯范畴” [单纯范畴]

单纯范畴中的态射集是单纯集, 其中的 $1$-胞腔可视为范畴中的 $2$-态射, $k$-胞腔可视为范畴中的 $(k+1)$-态射. 因此, 单纯范畴可作为无穷范畴的模型.

定义

单纯范畴, 又称单纯充实范畴 (simplicially enriched category), 是充实范畴于单纯集范畴 $\mathsf {sSet}$ 的范畴.

单纯范畴的范畴记为 $\mathsf {Cat}_{\Delta}$.

性质

$\mathsf {Cat}$ 中的单纯对象

单纯范畴可视为 $\mathsf {Cat}$ 中的单纯对象. 反过来, $\mathsf {Cat}$ 中的单纯对象可视为单纯范畴当且仅当其底层单纯集为常值单纯对象; 这意味着其 “对象的单纯集” 是离散单纯集.

与拓扑范畴的关系

设 $\mathsf C$ 为单纯范畴, 定义一个拓扑范畴 $|\mathsf C|$ 如下: 其对象为 $\mathsf C$ 的对象, 态射空间为几何实现 $\text{Map}_{|\mathsf C|}(X,Y):= |\text{Map}_{\mathsf C}(X,Y)|$. 反之, 对于拓扑空间范畴, 也可取其态射空间的奇异单纯集得到单纯范畴.