Wiki. “常值单纯对象” [常值单纯对象]

定义

范畴 $\mathsf C$ 上的常值单纯对象是 $\Delta^{\text{op}}$ 到 $\mathsf C$ 的常值函子, 也即复合函子 $\underline{c} \colon \Delta^{\text{op}} \to \{c\} \to\mathsf C$.

性质

命题. 常值单纯对象是 $\operatorname{ev}_0 \colon \mathsf C^{\Delta^{\text{op}}} \to\mathsf C$ 的左伴随, 也即有自然同构 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf C^{\Delta^{\text{op}}}}(\underline{c},X) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf C}(c,X_0). $$

推论. 常值单纯对象的构造给出了 $\mathsf C$ 到 $\mathsf C^{\Delta^{\text{op}}}$ 的全忠实嵌入.