Wiki. 单纯形范畴 [单纯形范畴]
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观念
单纯形范畴的对象是 “标准” 的, “组合” 的单纯形.
定义
单纯形范畴 (simplex category) $\Delta$ 是有限非空全序集的范畴 $$ \Delta = \{[0],[1],[2],\cdots\}, $$ 其中 $[n] = \{0<1<\cdots < n \}$.
增广单纯形范畴 (augmented simplex category) $\Delta_+$ 是有限全序集的范畴 $$ \Delta_+ = \{[-1],[0],[1],[2],\cdots\}. $$
$\Delta_+$ 是一个幺半范畴, 单位为 $[-1]$, $[n] \otimes [m] = [n+m+1]$. 注意, 这个幺半范畴不是对称幺半范畴.
性质
几何单纯形
标准 $n$ 维几何单纯形是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的基向量 $e_0,e_1,\cdots,e_n$ 的凸包. 这定义了一个函子 $\Delta \to \mathsf {Top}$.
游走的结合代数
增广单纯形范畴 $\Delta_+$ 是一个结合代数 $[0]$ 生成的自由幺半范畴, 称 $[0]$ 为游走的结合代数; 也即对任意幺半范畴 $\mathcal M$ 中的结合代数 $A$, 存在唯一的幺半函子 $\Delta_+ \to M$, 将 $[0]$ 对应到 $A$.