Wiki. “单纯形范畴” [单纯形范畴]

单纯形范畴 $\Delta$ 是有限序数 (设想为标准单纯形) 的范畴. 它是代表所有高等范畴的最重要的几何图形.

几何单纯形

标准 $n$ 维几何单纯形是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的基向量 $e_0,e_1,\cdots,e_n$ 的凸包. 这定义了一个函子 $\Delta \to \mathsf {Top}$.

幺半范畴

单纯范畴 $\Delta$ 是一个幺半对象生成的自由幺半范畴, 也即 $$ \begin{aligned} &\overset{1\otimes i}{\to}\\ 1 \overset{i}{\to} a &\overset{i\otimes 1}{\to} a\otimes a\to\cdots\\ &\overset{m}{\leftarrow}\\ \end{aligned} $$ (注. 这里对象 $1$ 在拓扑版本的单纯范畴中没有出现) 这意味着, 任意幺半范畴 $M$ 中的幺半对象都对应着函子 $\Delta \to M$, 也即 $M^{\text{op}}$ 中的单纯对象.

伴随生成单纯对象

设 $L\dashv R\colon \mathsf C\leftrightarrows \mathsf D$ 是一对伴随, 有自然变换 $$ \begin{aligned} e &\colon LR \Rightarrow 1_{\mathsf D},\

\end{aligned} $$

见单子, 余单子.

相关概念

单纯对象, 单纯范畴