Wiki. Segal 空间 [Segal空间]

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观念

在生象语境下, Segal 生象可用于定义 $(\infty,1)$-范畴.

Rezk 脉将 $(\infty,1)$-范畴变为单纯生象: $$ N \colon \mathsf{Cat} \to \mathsf{sAni}, $$ $$ N(\mathcal C)_n = \operatorname{Fun}([n],\mathcal C)^{\simeq}, $$ 其中 $(-)^\simeq$ 表示取范畴的对象的生象. 函子 $N$ 的像恰为完备 Segal 生象的范畴.

定义

一个 Segal 生象是一个单纯生象 $X \colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$, 满足对任意 $m,n\in\mathbb{N}$, 下图为拉回. $$ \begin{array} {ccc} X_{m+n} & \to & X_m \\ \downarrow && \downarrow \\ X_n & \to & X_0 \end{array} $$ 该图来自 $\Delta$ 中的如下交换图. $$ \begin{array} {ccc} \{0 < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{0 < \cdots < m\} \\ \uparrow && \uparrow \\ \{m < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{m\} \end{array} $$

完备 Segal 生象

对于 Segal 生象 $X$ 中的 $1$-单形 $f \in X_1$, 若 $f$ 既有左逆又有右逆 (具体地, 存在 $\sigma,\tau \in X_2$ 使得 $d_0\sigma = f = d_2\tau$, 且 $d_1\sigma, d_1\tau$ 均落在 $s \colon X_0 \to X_1$ 的像中), 则称 $f$ 为等价.

对于 Segal 生象 $X$, 记 $X_1^{\simeq}\subseteq X_1$ 为 $X_1$ 中的等价构成的子生象; 若 $s \colon X_0 \to X_1^\simeq$ 为生象的等价, 则称 $X$ 为完备 Segal 生象.