Wiki. “杠构造” [杠构造]

对于给定单子作用的对象, 杠构造 (bar construction) 给出它的 “自由消解”, 从而可计算该对象的上同调.

群的杠消解是其特例.

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定义

参考 nLab.

给定单子 $T$ 以及 $T$-代数 $A$, 杠构造 (bar construction) 给出一个 (增广) 单纯对象 $B(T,A)$, 其中的结构映射由 $T$ 的结构映射给出.

记 $\Delta_a$ 为有限序数 (包含空序数) 的范畴, 其中 $[1]$ 是万有的幺半群对象, 也即任意范畴 $\mathsf C$ 中的幺半群对象等同于函子 $\Delta_a \to \mathsf C$ 下 $[1]$ 的像.

记 $\mathsf C^T$ 为 $\mathsf C$ 中 $T$-代数的范畴, $U\colon \mathsf C^T\to\mathsf C$ 为遗忘函子, 其左伴随 (自由函子) 为 $F$.

由于 $\mathsf C^T$ 上的余单子 $FU$ 可视为 $\mathsf {End}(\mathsf C^T)$ 中的余幺半群对象, 它对应一个函子 $$ \Delta_a^{\text{op}}\overset{\operatorname{Bar}_T}{\longrightarrow}\mathsf {End}(\mathsf C^T). $$ 在 $A$ 处取值得到函子 $$ \Delta_a^{\text{op}}\overset{\operatorname{Bar}_T(A)}{\longrightarrow}\mathsf C^T. $$ 最后再复合 $U$, 就得到单纯对象 $$ B(T,A)\colon \Delta_a^{\text{op}}\to\mathsf C, $$ 称为 $A$ 的杠消解 (bar resolution).

杠构造的推广见双边杠构造, 单纯杠构造. 使用双边杠构造的记号, 有 $\operatorname{Bar}_T(A)=B(F,T,A)$, $B(T,A)=B(T,T,A)$.