Wiki. 杠构造 [杠构造]

观念

对于单子 $T$ 上的代数 $A$, 杠构造 (bar construction) 给出代数范畴中的一个增广单纯对象 $$ \cdots \to^3 TTA \rightrightarrows TA \to A, $$ 它是 $A$ 的一种消解, 称为杠消解.

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定义

给定单子 $T$ 以及 $T$-代数 $A$, 杠构造 (bar construction) 是增广单纯对象 $$ B(T,A) = (\cdots \to^3 TTA \rightrightarrows TA \to A), $$ 其中的结构映射由 $T$ 与 $A$ 的结构映射给出. 例如两个映射 $TTA \to TA$ 分别来自 $T$ 带有的自然变换 $T^2\to T$ 以及 $A$ 的结构映射 $TA\to A$.

严格定义

下面给出增广单纯对象 $B(T,A)$ 的一种严格定义. 记 $\Delta_+$ 为增广单纯形范畴, 回忆其中 $[0]$ 是 “游走的结合代数”, 也即任意幺半范畴 $\mathcal C$ 中的结合代数 $A$ 等同于幺半函子 $\Delta_+ \to \mathcal C$, 将 $[0]$ 对应到 $A$.

记 $\mathcal C^T$ 为 $\mathcal C$ 中 $T$-代数的范畴, $U\colon \mathcal C^T\to\mathcal C$ 为遗忘函子, 其左伴随 (“自由 $T$-代数” 函子) 为 $F\colon \mathcal C\to\mathcal C^T$, $F(X) = TX$. 这对伴随给出 $\mathcal C^T$ 上的余单子 $FU$ (见伴随给出单子), 又可视为 $\operatorname{End}(\mathcal C^T)$ 中的结合余代数, 它对应一个幺半函子 $$ \operatorname{Bar}_T\colon \Delta_+^{\text{op}}\to\operatorname{End}(\mathcal C^T). $$

将 $\operatorname{Bar}_T$ 复合 “在 $A$ 处取值” 函子 $\mathrm{ev}_A\colon \operatorname{End}(\mathcal C^T) \to \mathcal C^T$, 得到函子 $$ \operatorname{Bar}_T(A)\colon \Delta_+^{\text{op}}\to\mathcal C^T. $$ 最后再复合 $U$, 就得到单纯对象 $$ B(T,A)\colon \Delta_+^{\text{op}}\to\mathcal C, $$ 称为 $A$ 的杠消解 (bar resolution).

推广

杠构造的推广见双边杠构造, 单纯杠构造. 使用双边杠构造的记号, 有 $\operatorname{Bar}_T(A)=B(F,T,A)$, $B(T,A)=B(T,T,A)$.

例

群

设