Wiki. 单子上的代数 [单子上的代数]

观念

单子上的代数和单子上的左模是同义词. 还有另一个不同的概念, 单子上的右模.

结合代数给出单子; 在这种意义上, 单子上的代数是结合代数上的模的推广.

定义

范畴 $\mathcal C$ 是自函子范畴 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ (作为幺半范畴, 即 $\mathsf{Cat}$ 中的结合代数) 的左模, 因此对于 $\mathcal C$ 上的单子 $T$, 即 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 中的结合代数, 可以谈论 $T$ 在 $\mathcal C$ 中的模 (代数).

具体地, 范畴 $\mathcal C$ 上的单子 $T$ 上的代数 $X$ 包含一个态射 $TX \to X$, 以及交换图 $$ \begin{array} {ccc} TTX & \to & TX \\ \downarrow && \downarrow \\ TX & \to & X. \end{array} $$ 其中两个映射 $TTX \to TX$ 分别来自 $T$ 带有的自然变换 $T^2\to T$ 以及 $X$ 带有的态射 $TX\to X$.

更一般地, 对范畴 $I$, 函子范畴 $\mathsf{Fun}(I,\mathcal C)$ 也是 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 的左模, 从而可以定义 $X\colon I\to\mathcal C$ 上的 $T$-左模 (或称 $T$-代数) 结构.

右模, 双模

另一个概念是单子上的右模. 对范畴 $J$, 函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal C,J)$ 是 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 的右模, 从而可以定义 $Y\colon \mathcal C\to J$ 上的 $T$-右模结构.

进一步, 对于两个范畴 $\mathcal C,\mathcal D$, $\mathcal C$ 上的单子 $T$ 与 $\mathcal D$ 上的单子 $S$, 定义 $(T,S)$-双模为函子 $X\colon \mathcal D\to\mathcal C$, 同时具有相容的 $T$-左模和 $S$-右模结构, 即有如下交换图. $$ \begin{array} {ccc} TXS & \to & TX \\ \downarrow & & \downarrow \\ XS & \to & X. \end{array} $$

例

伴随的典范模结构

对于函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 之间的一对伴随 $F\dashv G$ 给出的单子 $T= GF$,

• $F$ 有典范的 $T$-右模结构 $FT=FGF \to F$,
• $G$ 有典范的 $T$-左模结构 $TG=GFG \to G$.

见双边杠构造.