Wiki. “双边杠构造” [双边杠构造]

双边杠构造是杠构造 (bar construction) 的推广.

定义

设 $(C,\mu,\eta)$ 为范畴 $\mathcal T$ 上的单子. 设 $\mathcal V$ 为另一范畴. 称如下函子 $F\colon \mathcal T\to\mathcal V$ 为 $C$-函子: 存在自然变换 $\lambda \colon FC\to F$, 满足 $$ F\overset{F\eta}{\to}FC\overset{\lambda}{\to}F =\operatorname{id}_F, $$ $$ FCC\overset{F\mu}{\to}FC\overset{\lambda }{\to}F =FCC\overset{\lambda C}{\to}FC\overset{\lambda }{\to}F. $$ 这是 $\mathsf {End}(\mathcal T)$ 中的幺半群右作用在 $\mathsf {Fun}(\mathcal T,\mathcal V)$ 上.

定义范畴 $\mathcal B(\mathcal T,\mathcal V)$, 其对象为 $(F,C,X)$, $C$ 为单子, $F$ 为 $C$-函子, $X$ 为 $C$-代数. 定义 $$ B_q(F,C,X)=FC^qX, $$ $B_q(F,C,X)$ 可以构成一个单纯对象 $B_*(F,C,X)$.

例

分类空间