Wiki. 双边杠构造 [双边杠构造]

双边杠构造是杠构造 (bar construction) 的推广.

定义

设 $T$ 为范畴 $\mathcal C$ 上的单子. 对于 $T$ 上的左模 $X\colon I\to\mathcal C$ 与右模 $Y\colon \mathcal C\to J$, 双边杠构造是 $\mathsf{Fun}(I,J)$ 中的单纯对象 $$ B(Y,T,X) = (\cdots YTTX \to^3 YTX \rightrightarrows YX). $$

例

伴随的典范双边杠构造

对于函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 之间的一对伴随 $F\dashv G$ 给出的单子 $T = GF$,

• $F$ 有典范的 $T$-右模结构 $FT=FGF \to F$,
• $G$ 有典范的 $T$-左模结构 $TG=GFG \to G$.

因此伴随 $F\dashv G$ 给出典范的双边杠构造 $$ B(F,T,G) = (\cdots FGFGFG \to^3 FGFG \rightrightarrows FG). $$