Wiki. 伴随给出单子 [伴随给出单子]

陈述

设函子 $L\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $R\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 之间有一对伴随 $L\dashv R$, 则有

• $\mathcal C$ 上的单子 $RL\colon \mathcal C\to\mathcal C$,
• $\mathcal D$ 上的余单子 $LR\colon \mathcal D\to\mathcal D$;

其中

• 单子 $RL$ 的结构映射 $\mathrm{id}_{\mathcal C}\to RL$ 为伴随的单位, $RLRL \to RL$ 来自伴随的余单位,
• 余单子 $LR$ 的结构映射 $LR \to \mathrm{id}_{\mathcal D}$ 为伴随的余单位, $LR \to LRLR$ 来自伴随的单位.

证明

一个抽象的解释是, 游走的伴随中包含了游走的结合代数 (即增广单纯形范畴).

例