Wiki. 游走的伴随 [游走的伴随]

观念

游走的伴随是一个具有两个对象的 $2$-范畴 $\mathsf{Adj}$, 任何 $2$-范畴 $\mathcal C$ (例如 $\mathsf{Cat}$) 中的伴随等同于函子 $$ \mathsf{Adj} \to \mathcal C. $$ 因此这是一种游走 (“自由”) 的结构.

具体地, $\mathsf{Adj}$ 有如下对象与态射:

• 两个对象 $c,d$;
• 两个态射 $l\colon c\to d$, $r\colon d\to c$;
• 两个 $2$-态射 $\eta\colon \mathrm{id}_c \to rl$; $\epsilon\colon lr\to\mathrm{id}_d$, 满足伴随的条件 (注意 $\mathsf{Adj}$ 仅为 $2$-范畴, 故这些条件是性质而非结构), 即 $$ l \overset{\eta}{\to} lrl \overset{\epsilon}{\to} l = \mathrm{id}_l,\, r \overset{\eta}{\to} rlr \overset{\epsilon}{\to} r = \mathrm{id}_r; $$
• 以及上述资料按照条件 “自由生成” 的所有态射与 $2$-态射.

上述资料生成的结果为

• $\operatorname{Hom}(c,c) = \{\mathrm{id}_c,rl,rlrl,\cdots\} = \Delta_+$ 为增广单纯形范畴;
• $\operatorname{Hom}(c,d) = \{l,lrl,lrlrl,\cdots\}$;
• $\operatorname{Hom}(d,c) = \{r,rlr,rlrlr,\cdots\}$;
• $\operatorname{Hom}(d,d) = \{\mathrm{id}_d,lr,lrlr,\cdots\} = \Delta_+^{\mathrm{op}}$.

性质

注意到上述资料中 $\operatorname{Hom}(c,c) = \{\mathrm{id}_c,rl,rlrl,\cdots\} = \Delta_+$ 为增广单纯形范畴, 其中 $rl$ 为游走的结合代数, 故任意伴随中 $rl$ 给出一个单子. 见伴随给出单子.