Wiki. “单子” [单子]

单子 (monad) 是幺半群 (monoid) 的垂直范畴化.

余单子

定义

一个范畴 $\mathsf C$ 上的单子是 $\mathsf {End}(\mathsf C)$ 中的幺半群.

一般地, 幺半范畴中的幺半群也可称为单子.

使用 2-范畴, 可定义单子为 $1$ (终 $2$-范畴) 到某个 $2$-范畴的松 2-函子.

例

任何伴随 $L\dashv R$ 都给出一个单子 $RL$ 与一个余单子 $LR$.

Set 上的单子

考虑带基点集合 $\mathsf {Set}_*$ 到 $\mathsf {Set}$ 的遗忘函子, 其对应的自由函子 (左伴随) 是对集合添加一个新的点作为基点. 这对伴随的单位 $\operatorname{id}_{\mathsf {Set}}\to RL$ 是对集合添加一个新的点. 这在计算机科学中称作可能单子 (maybe monad).

固定集合 $S$, 称为状态集合 (set of states), 张量-同态伴随 $(S\times)\dashv (-)^S$ 的单位 $(S\times -)^S$ 称为状态单子 (state monad).

Cat 上的单子

Cat 上的单子是具有幺半群结构的自函子.

相关概念

算畴, 杠构造

从 Bool 代数的 Stone 对偶 (涉及到 $\mathbb F_2$ 上的 Boole 代数与紧 Hausdorff 空间两个结构之间的相容性), 我联想到模结构以及双模的张量-同态伴随所诱导的两种模结构之间的转化. 又想起单子理论将模结构解读为一个单子上的代数. 于是我问, 是否在很广的意义上, “结构” 就是 “代数”.

黄栩以及无穷类型咖啡馆的群友告诉我, algebraic 的意思等同于 monadic + (possibly finiteness). 不是每个范畴都 monadic over Sets, 所以不是所有结构都可以称作代数结构. 但是, 我至少确认了我的联想是有道理的.

黄栩还告诉我, but CHaus happens to be monadic over Set.