Wiki. “小 n-方块算畴” [小n-方块算畴]

定义

记 $J^n$ 为 $n$-维单位方块 $I^n$ 的内部. 一个小方块是一个平行的线性嵌入 $f=f_1\times\cdots\times f_n\colon J^n\to J^n$.

定义 $\mathcal C_n(j)$ 为 “$j$ 个互不相交的小方块” 的构形空间, 映射 $\mathcal C_n(k)\times \mathcal C_n(j_1)\times\cdots\times \mathcal C_n(j_k)\to\mathcal C_n(j_1+\cdots+j_k)$ 为 “小方块中的小方块”.

通过嵌入 $\mathcal C_{n}(j)\to\mathcal C_{n+1}(j)$ (乘以区间提升一维), 定义 $\mathcal C_\infty=\operatorname{colim}\mathcal C_n$.

性质

$\mathcal C_1$ 是 A∞-算畴, 其对应的单子 $C_1$ 与 James 构造有关.

$\mathcal C_n$ 是局部 $(n-2)$-连通的 $\Sigma$-自由算畴.

$\mathcal C_\infty$ 是 E∞-算畴.

与环路空间的关系

$n$ 重环路空间是 $\mathcal C_n$-空间. 这给出了单子的态射 $C_n\to\Omega^n S^n$.

相关概念

En-算畴