Wiki. “张量-同态伴随” [张量-同态伴随]

对于 (不一定交换的) 环 $R,S$, 设 $M$ 为左 $R$ 右 $S$ 模, 则有一对伴随函子 $$ (M\otimes_S - ) \dashv \operatorname{Hom}_R(M,-)\colon R\mathsf {Mod} \longleftrightarrows S\mathsf {Mod}. $$ 即对左 $S$-模 $A$ 与左 $R$-模 $B$, 有自然同构 $$ \operatorname{Hom}_R(M\otimes_S A ,B) \simeq \operatorname{Hom}_S(A, \operatorname{Hom}_R(M,B)). $$

在代数-几何对偶中, 这对伴随可类比直像-逆像伴随.

性质

$M\otimes_S -$ 为右正合函子, 而 $\operatorname{Hom}_R(M,-)$ 为左正合函子.

若 $M$ 为平坦 $S$-模, 则 $M\otimes_S -$ 同时也是左正合函子.

相关概念

Frobenius 互反律

标量扩张 $\dashv$ 标量限制 $\dashv$ 标量余扩张

几何态射