notion代数–几何对偶 [代数-几何对偶]

代数–几何对偶是数学上的一大类现象, 某种几何对象与某种代数对象之间有对偶的关系:

• 取几何对象上的某种 “函数”, 得到代数对象;
• 取代数对象的 “谱”, 得到几何对象.

这两个操作通常是一对伴随, 甚至是范畴等价.

在高阶范畴语境中, 代数–几何对偶中的 “函数” 表现为 “集合值” 甚至 “范畴值” 的函数, 也就是所谓层.

例

Gelfand 对偶

紧 Hausdorff 空间对偶于交换 C*-代数.

注意这个等价的关键原因是 Urysohn 引理保证了紧 Hausdorff 空间上有足够多的 $\mathbb{C}$-值连续函数.

Stone 对偶

Pro-有限集对偶于 Boole 代数.

仿射概形

仿射概形对偶于交换环. 这个事实可以作为仿射概形的定义.

环上的模的张量-同态伴随类比空间上的层的直像-逆像伴随.

淡中对偶

淡中 (Tannaka) 对偶是某种几何对象与其上的某种层范畴的对偶.

相关概念

语法–语义对偶