Wiki. 动量映射 [动量映射]
Wiki. 动量映射 [动量映射]
使用动量映射, 我们可以根据群作用的守恒量 (conserved quantities) 得到可观测量 (observables).
定义
Poisson 流形上的作用
设 Lie 群 $G$ 在 Poisson 流形 $M$ 上有一 Hamilton 作用, 即存在 Lie 代数同态 $h_{-} \colon \mathfrak{g} \to C^\infty(M)$, 满足 $x\in \mathfrak{g}$ 在作用之下对应的 $M$ 上的向量场等同于 $h_x$ 在 Poisson 括号下对应的导子 $\{-,h_x\}$.
此时, 映射 $h_{-}$ 也给出一个映射 $\mu \colon M\to\mathfrak g^*$, 称之为动量映射 (moment map, 或 momentum map).
Poisson 代数上的作用
动量映射可以绕过流形, 直接在代数层面谈论. 设代数群 $G$ 作用于 Poisson 代数 $P$, 且存在 Lie 代数同态 $h\colon \mathfrak{g} \to P$ 满足 $x\in \mathfrak{g}$ 对应的 $P$ 上的导子恰为 $\{-,h_x\}$. 那么映射 $h$ 本身即是动量映射 (在代数–几何对偶另一侧的对应物).
这种观点与量子动量映射直接相关.
性质
Lie 代数同态 $h_{-} \colon \mathfrak{g} \to C^\infty(M)$ 给出 Poisson 代数同态 $\operatorname{Sym}\mathfrak{g} \to C^\infty(M)$.
等变
命题. 设 $G$ 为连通 Lie 群. 考虑 $G$ 在 $\mathfrak{g}^*$ 上的余伴随作用 $\operatorname{Ad}^*$, 则动量映射 $\mu \colon M \to \mathfrak{g}^*$ 是 $G$-等变映射.
证明. 由连通性, 只需证明无穷小版本的结论. 记 $x\in\mathfrak{g}$ 对应的 $M$ 上的向量场为 $\xi_x$, 而余伴随作用 $\operatorname{Ad}^*$ 对应的 $\mathfrak{g}$ 在 $\mathfrak{g}^*$ 上的作用为 $\operatorname{ad}^*$, $$ \langle\operatorname{ad}^*_x(\alpha),y\rangle = -\alpha([x,y])\,(x,y\in\mathfrak{g},\alpha\in\mathfrak{g}^*). $$ 我们要证明的结论是 $$ d_m\mu (\xi_x) = \operatorname{ad}_x^*(\mu(m))\,(m\in M). $$ 而这只需将两边与 $y\in\mathfrak{g}$ 配对, 使用 $h_{-}$ 的性质计算 $$ \begin{aligned} \langle d_m \mu (\xi_x),y\rangle &= d_m h_y (\xi_x)\\ &= -\{h_x,h_y\}(m)\\ &= -h_{[x,y]}(m)\\ &= -\mu(m)([x,y])= \langle \operatorname{ad}_x^*(\mu(m)),y \rangle. \end{aligned} $$