Wiki. “动量映射” [动量映射]

使用动量映射, 我们可以根据群作用的守恒量 (conserved quantities) 得到可观测量 (observables).

定义

对 $\xi\in\mathfrak g$ 记 $\xi^\#$ 为对应的 $M$ 上的向量场.

动量映射 $\Phi\colon M\to\mathfrak g^*$ 满足对任意 $\xi\in\mathfrak g$, $$ i_{\xi^{\#}}\omega = d \left<\Phi(x),\xi\right>. $$

使用 Lie 代数同态的定义

设 $(M,\omega)$ 是具有 Lie 群 $G$ 的 Hamilton 作用的辛流形. Hamilton 作用给出 Lie 代数 $\mathfrak g$ 到流形上 Hamilton 向量场的同态 $\mathfrak g \to \mathrm{HamVect}(M,\omega)$. 回忆有 Lie 代数的中心扩张 $$ 0\to \mathbb{R} \to (C^\infty(M),\{-,-\}) \to \mathrm{HamVect}(M,\omega) \to 0, $$ 若同态 $\mathfrak g \to \mathrm{HamVect}(M,\omega)$ 可进一步提升为同态 $\mathfrak g \to (C^\infty(M), \{-,-\})$, 那么对偶地, 我们就得到动量映射 $\mu\colon M \to \mathfrak g^*.$

相关概念

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