Wiki. “环面簇” [环面簇]

#代数几何

环面簇 (toric variety) 是一种对应于多面体的代数簇. $X_P$ 到多面体 $P$ 的投影称为动量映射, 它是辛流形上 Lie 群作用的动量映射的特例.

定义

由锥与扇构造环面簇

固定一个格 (有限生成自由交换群) $N$, 对偶格 $M=\operatorname{Hom}(N,\mathbb Z)$, 记 $N_{\mathbb R}=N\otimes_{\mathbb Z}\mathbb{R}$.

这里所说的锥 (cone) 是指 $N_{\mathbb R}$ 中若干个线性无关的有理元素生成的交换半群 $\mathbb R_{\geq 0}$-模. 锥的面是指其生成元的子集生成的锥. 锥 $\sigma$ 的对偶锥 $\sigma^\vee$ 是 $M_{\mathbb R}$ 中在 $\sigma$ 上取值非负的线性函数构成的锥.

扇 (fan) 是一系列锥构成的集合 $\Sigma$, 满足 $\Sigma$ 中每个锥的面也在 $\Sigma$ 中, 且每两个锥的交都是一个面.

对于锥 $\sigma$, 仿射环面簇 (affine toric variety) 定义为 $X_\sigma = \operatorname{Spec}\mathbb Z[\sigma^\vee\cap M]$, 其中 $\sigma^\vee\cap M$ 是有限生成交换幺半群.

对于扇 $\Sigma$, 环面簇定义为 $X_\Sigma=\operatorname{colim}_{\sigma\in\Sigma}X_\sigma$.

例

$P$ 为长度 $\ell$ 的线段, $X_P$ 为直径 $\ell$ 的球面, 动量映射将每个纬线映射到一个点.

$P$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的正象限, $X_P$ 为 $\mathbb{C}^n$.

锥与仿射环面簇

考虑 $N$ 为 $e_1,e_2$ 生成的格, 记 $M$ 的对偶基为 $x_1,x_2$. 设 $\sigma$ 为 $N_{\mathbb R}$ 中 $e_2,2e_1-e_2$ 生成的锥, 则 $\sigma^\vee\cap M$ 为 $x_1,x_1+x_2,x_1+2x_2$ 生成的幺半群, $X_\sigma=\operatorname{Spec}\mathbb Z[x,xy,xy^2]$.

设 $\Sigma$ 为 $e_1$ 生成的锥与 $-e_1$ 生成的锥构成的扇, 则 $X_\Sigma$ 为 $\operatorname{Spec}\mathbb {Z}[x]$ 与 $\operatorname{Spec}\mathbb {Z}[x^{-1}]$ 沿 $\operatorname{Spec}\mathbb {Z}[x,x^{-1}]$ 的粘合, 即 $\mathbb P^1$.