Wiki. 仿射概形 [仿射概形]
Wiki. 仿射概形 [仿射概形]
仿射概形是同构于某个环 $A$ 的谱 $\operatorname{spec}(A)$ 的局部环化空间. 它的特点是它的几何信息完全由整体函数环决定.
仿射概形的范畴等价于环范畴的对偶, 这是代数–几何对偶的一例.
定义
通过局部环化空间
…
函子式
函子式代数几何中, 仿射概形的范畴 $\mathsf{Aff}$ 就定义为环范畴 $\mathsf{Ring}$ 的对偶.
性质
仿射化
仿射概形范畴到概形范畴的嵌入 $\mathsf{Aff} \to \mathsf{Sch}$ 有左伴随 $X\mapsto \operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal O_X)$: $$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Sch}}(X,\operatorname{Spec}A) &\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ring}}(A,\Gamma(X,\mathcal O_X)) \\&\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{Aff}}(\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal O_X),\operatorname{Spec}A). \end{aligned} $$
拟仿射概形的仿射化又称仿射闭包 (affine closure).
Serre 判别法
命题. 设 $X$ 为拟紧拟分离概形, 则 $X$ 为仿射概形当且仅当整体截面函子 $$ \Gamma (X,-) \colon \mathsf{QCoh}(X) \to \mathsf{Ab} $$ 正合.