Wiki. 既约概形 [既约概形]
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定义
称满足如下等价条件的概形 $X$ 为既约概形:
- 对每点 $x\in X$, 茎 $\mathcal O_{X,x}$ 为既约环, 即没有非零的幂零元;
- 存在仿射开覆盖 $\{\operatorname{Spec}A_i \to X\}$, 其中每个 $A_i$ 都是既约环;
- 对任意 Zariski 开集 $U\hookrightarrow X$, $\Gamma(\mathcal O_X,U)$ 是既约环.
$X$ 既约概形等价于在 $\mathrm{Sh}(X)$ 的内语言中 $\mathcal O_X$ 为既约环.
函子式
在函子式代数几何中, 记 $i\colon \mathsf{Aff}_{\mathrm{red}}\hookrightarrow\mathsf{Aff}$ 为既约仿射概形 (既约环对应的仿射概形) 的子范畴, 那么既约概形可视为 $\mathsf{Aff}_{\mathrm{red}}$ (带有 Zariski 拓扑的限制) 上的 (满足某种局部可表性的) 层 $X$ 的左 Kan 扩张 $\operatorname{LKE}_iX$: 对于任意仿射概形 $\operatorname{Spec}A$, $$ \begin{aligned} &(\operatorname{LKE}_iX)(\operatorname{Spec}A) \\ &= \operatorname{colim}\limits_{ \operatorname{Spec} A\to \operatorname{Spec}R } X(\operatorname{Spec}R) (R\in \mathsf{Ring}_{\mathrm{red}}). \end{aligned} $$
另见概形的约化.
性质
约化
既约概形的子范畴的嵌入 $\mathsf{Sch}_{\mathrm{red}}\hookrightarrow\mathsf{Sch}$ 有右伴随; 换言之, 对于既约概形 $X$ 和任意概形 $Y$, 映射 $X\to Y$ 唯一地穿过 $Y_{\mathrm{red}}$. 见概形的约化.
局部闭子集上的既约子概形
对于概形 $X$ 的局部闭子集 $Z$, 存在唯一的局部闭嵌入 $Y\to X$ 满足 $Y$ 为既约概形且其像集为 $Z$, 称之为 $Z$ 确定的既约子概形 $Z_{\mathrm{red}}$.
例
$\operatorname{Spec} k[x]/(x^2)$ 不是既约概形.
$\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$ 是既约概形.
既约概形的乘积不一定是既约概形: $$ \operatorname{Spec}\mathbb F_p \times \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[t]/(t^2-p) = \operatorname{Spec}\mathbb F_p [t]/(t^2). $$