Wiki. 意象的内语言 [意象的内语言]

每个意象都有一个以其对象为类型, 其态射为函数符号的一阶语言, 称为内语言.

直观地说, 使用这种语言, 我们可以假装意象中的对象是集合, 态射是集合的映射, 并且像对待集合一样对 $\mathcal E$ 中的命题进行推理.

例如, 态射 $\alpha\colon X\to Y$ 是满射这一命题可使用内语言表达为 $$ \forall y:Y , \exists x:X , \alpha(x)=y. $$ 对于集合, 满射的复合是满射; 那么意象中满态射的复合是满态射. 因为一条元定理指出, 若语句 $\varphi$ 在意象 $\mathcal E$ 的内语言中成立, 且逻辑上 $\varphi$ 推出 $\psi$, 则 $\psi$ 也在这一内语言中成立.

意象的内语言通常是直觉主义逻辑的, 而非经典逻辑的. 这意味着不能使用排中律, 且一个命题 $P$ 的否定之否定不能推出 $P$ 本身.

例

概形上的层语义

概形上的层意象的层语义简化了代数几何中的许多概念和命题.

见概形上的层语义.

物理

一个量子力学系统可赋予一个 Bohr 意象.

其他

另见 Newton–Puiseux 定理