Wiki. Čech 脉 [Čech脉]

观念

Čech 脉是对范畴中的态射 $U\to X$ 指定的一个单纯对象 $\text{\v{C}}(U\to X)$.

• 若 $U\to X$ 是若干 “片” 构成的覆盖 $U=\bigsqcup U_i$, 则 Čech 脉的直观是记录其每有限个 “片” 的交 $U_{i_1}\times_X\cdots\times_X U_{i_k}$ 的结构.

对于满射 $U\to X$, 我们期望其 Čech 脉的几何实现是 $X$ 本身; 这称为 Giraud 公理.

Čech 脉还有一种内部观点: 在内语言中, $X$ 是一个点, 而 $X$ 的覆盖 $U\to X$ 则是一个有物对象. 将这个对象的 “每两个点之间连一条线, 每三个点之间连一个三角形, …” 就会得到一个可缩的单纯集, 其几何实现便是一个点 $X$ 自己.

定义

设有范畴 $\mathcal C$ 中的态射 $f\colon U\to X$, 将其视为函子 $$ \tilde{f}\colon \{[0] \leftarrow [-1]\}^{\mathrm{op}}\to\mathcal C $$ (其中 $[0]$ 映射到 $U$, $[-1]$ 映射到 $X$). 考虑其沿嵌入 $$ i\colon \{[0] \leftarrow [-1]\} \hookrightarrow \Delta_+ $$ 的右 Kan 扩张 $$ \operatorname{RKE}_i \tilde f \colon \Delta_+^{\mathrm{op}} \to\mathcal C, $$ 再限制到 $\Delta\hookrightarrow\Delta_+$, 所得的单纯对象称为 $f$ 的 Čech 脉 $\text{\v{C}}(f)\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$.