Wiki. 概形的约化 [概形的约化]

陈述

记 $\mathsf{Sch}_{\mathrm{red}}\hookrightarrow\mathsf{Sch}$ 为既约概形构成的子范畴. 嵌入函子 $\mathsf{Sch}_{\mathrm{red}}\hookrightarrow\mathsf{Sch}$ 有右伴随; 换言之, 对于既约概形 $X$ 和任意概形 $Y$, 映射 $X\to Y$ 唯一地穿过 $Y_{\mathrm{red}}$.

函子式

既约环的子范畴的嵌入 $i\colon \mathsf{Ring}_{\mathrm{red}} \hookrightarrow \mathsf{Ring}$ 有左伴随 $r$, 也即既约仿射概形的子范畴的嵌入有右伴随. 这对伴随诱导了预层范畴之间的四元伴随 $$ i_! \dashv (i^* = r_!) \dashv (i_* = r^*) \dashv r_*, $$

我们具体写出几个函子的表达式. 约定如下记号:

• $X\in\mathsf{Fun}(\mathsf{Ring},\mathsf{Set})$,
• $Y\in\mathsf{Fun}(\mathsf{Ring}_{\mathrm{red}},\mathsf{Set})$,
• $A\in\mathsf{Ring}$,
• $R\in\mathsf{Ring}_{\mathrm{red}}$.

那么

$$ i_!Y(A) = \operatorname{colim}_{R\to A} Y(R), $$ $$ i^*X(R) = r_!X (R) = X(R), $$ $$ i_*Y(A)=r^*Y(A) = Y(A_{\mathrm{red}}), $$ $$ r_*X(R)=\operatorname{lim}_{R\to A_{\mathrm{red}}} X(A). $$

概形 $X\colon \mathsf{Ring}\to\mathsf{Set}$ 的约化为 $$ X_{\mathrm{red}} = i_!i^* X\colon A\mapsto \operatorname{colim}_{R\to A} X(R). $$

例如对任意概形 $Y$, 映射 $X_{\mathrm{red}} \to Y$ 给出映射 $i^*X\to i^*Y$, 从而有 $X_{\mathrm{red}} \to Y_{\mathrm{red}}$.

作为对比, 概形 $X \colon \mathsf{Ring} \to \mathsf{Set}$ 的 de Rham 空间为 $$ X_{\mathrm{dR}} := i_*i^*X\colon A\mapsto X(A_{\mathrm{red}}). $$