Wiki. 预层范畴之间的伴随 [预层范畴之间的伴随]

观念

预层范畴之间的伴随是范畴论中十分常见的一种现象, 指的是范畴 $\mathcal C$, $\mathcal D$ 之间的函子诱导的预层范畴 $\widehat {\mathcal C} = \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\widehat {\mathcal D} = \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 之间的伴随.

当然, 充实范畴中也有相应的现象.

预层范畴之间的伴随是是 Kan 扩张的特例, 而数学中的许多现象又是它的特例.

陈述

函子 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 诱导预层范畴 $\widehat {\mathcal C} = \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\widehat {\mathcal D} = \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 之间的伴随 $$ f_! \dashv f^* \dashv f_*, $$ 其中

• $f^*\colon \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}) \to \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 是预层的拉回 (函子的复合), $$ (f^* X)(c) = X(f(c)). $$
• 拉回的左伴随 $f_!$ 是沿 $f$ 的左 Kan 扩张, $$ (f_! X)(d) = \operatorname{colim}_{d\to f(c)} X(c). $$
• 拉回的右伴随 $f_*$ 是沿 $f$ 的右 Kan 扩张, $$ (f_* X)(d) = \operatorname{lim}_{f(c)\to d} X(c). $$

代函子

左 Kan 扩张可视为代函子的复合, 右 Kan 扩张可视为代函子的同态集.

若将 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 视为 $\mathcal C$ 到 $\mathcal D$ 的 代函子 $$ \widetilde f\colon \mathcal C\times\mathcal D^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Set},\, (c,d)\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(d,f(c)), $$ 将 $F\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 视为 $1$ 到 $\mathcal C$ 的代函子, 那么两者的复合为 $F\otimes_{\mathcal C}\widetilde f \colon \mathcal D^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, $$ d\mapsto\operatorname{colim}_{c} F(c)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(d,f(c)). $$

若将 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 视为 $\mathcal D$ 到 $\mathcal C$ 的代函子 $$ \bar f\colon \mathcal D\times\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set},\, (d,c)\mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(f(c),d), $$ 将 $F\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 视为 $1$ 到 $\mathcal C$ 的代函子, 那么 $\widetilde f$ 到 $F$ 的同态集为 $1$ 到 $\mathcal D$ 的代函子 $[\bar f,F]\colon \mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, $$ d\mapsto \operatorname{lim}_{c} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Set}} \big({\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(f(c),d)},F(c)\big). $$

伴随诱导预层范畴之间的伴随

设 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$, $g\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 是一对伴随, $f\dashv g$. 注意到 $$ \mathsf{Psh} = \operatorname{Hom}((-)^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})\colon \mathsf{Cat}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Cat} $$ 是 $2$-范畴之间的函子, 它保持伴随; 即 $f^*\colon \widehat {\mathcal D} \to \widehat {\mathcal C}$, $g^*\colon \widehat {\mathcal C} \to \widehat {\mathcal D}$ 也是一对伴随, $f^* \dashv g^*$. 换言之, $$ f^* = g_!,\quad f_* = g^*. $$ 这两个等价也可使用 $g_!$, $f_*$ 的具体表达式验证: $$ \begin{aligned} (g_! X) (c) &= \operatorname{colim}_{c\to g(d)} X(d) \\ &= \operatorname{colim}_{f(c)\to d} X(d)\\ &= X(f(c)) = (f^*X) (c), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (f_* X) (d) &= \operatorname{lim}_{f(c)\to d} X(c) \\ &= \operatorname{colim}_{c\to g(d)} X(c)\\ &= X(g(d)) = (g^*X) (d). \end{aligned} $$

总结起来, 对于伴随 $f\dashv g$, 有预层范畴之间的四元伴随 $$ f_! \dashv (f^*=g_!) \dashv (f_*=g^*) \dashv g_*. $$

性质

对可表函子的作用

设函子 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 诱导预层范畴 $\widehat {\mathcal C} = \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\widehat {\mathcal D} = \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 之间的伴随 $$ f_! \dashv f^* \dashv f_*, $$ 则对于 $c\in \mathcal C$, 有 $f_! \mathbf{y}(c) = \mathbf{y}(f(c))$.

先推再拉

当 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 为全忠实函子, 即全子范畴的嵌入时, $$ \begin{aligned} f^*f_! X (c) &= f_! X(f(c))\\ &= \operatorname{colim}_{f(c) \to f(c')} X(c')\\ &= \operatorname{colim}_{c \to c'} X(c') = X(c), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f^*f_* X (c) &= f_* X(f(c))\\ &= \operatorname{lim}_{f(c') \to f(c)} X(c')\\ &= \operatorname{lim}_{c' \to c} X(c') = X(c), \end{aligned} $$ 即两个自然映射 $f^*f_*\to X \to f^*f_! X$ 均为同构.

例