Wiki. Kummer 理论 [Kummer理论]

单位根概形

设 $n$ 为正整数. 考虑乘法群概形 $\mathbb G_m = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x^{\pm 1}]$. 记 $$ n\colon \mathbb G_m \to \mathbb G_m $$ 为 $n$ 次方映射, 定义 “$n$ 次单位根” 群概形为其核: $$ \mu_n := \operatorname{ker}(n\colon \mathbb G_m \to \mathbb G_m). $$ 作为函子 $\mathsf{Ring} \to \mathsf{Set}$, $\mu_n(A)$ 是 $A$ 中 $n$ 次方等于 $1$ 的元素的集合. 作为仿射概形, $\mu_n = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]/(x^n-1)$.

基底的选取

记 $\zeta_n$ 为 $n$ 次本原单位根. Kummer 理论关注的是定义在 $A:=\mathbb{Z}[1/n][\zeta_n]$ 上的概形 $X$, 这种概形 $X$ 满足 $\mathcal O(X)$ 具有本原 $n$ 次单位根, 且 $n$ 在其中可逆.

基变换到 $A$ 上会产生如下两个重要现象:

• 由于本原单位根 $\zeta_n$ 的存在, 单位根群 $\mu_n$ 成为 $n$ 阶循环群 $\mathbb{Z}/n$. 具体地, $A[x]/(x^n-1) \simeq \prod_{i=0}^{n-1} A[x]/(x-\zeta_n^i) \simeq A^n$.

• 由于 $n$ 可逆, 概形态射 $n\colon \mathbb G_m \to\mathbb G_m$ 成为平展覆盖 ($y^n-x$ 关于 $y$ 的导数可逆), 从而是平展景上的满射.

长正合列

对于 $\mathbb{Z}[1/n][\zeta_n]$-概形 $X$, 其平展景上的短正合列 $$ 0 \to \mu_n \to \mathbb G_m \overset{n}{\to} \mathbb G_m\to 0 $$ 给出平展上同调的长正合列 $$ \begin{aligned} 0 &\to \mu_n(X) \to \mathcal O(X)^* \overset{n}{\to} \mathcal O (X)^*\\ &\to H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mu_n) \to \operatorname{Pic}(X) \overset{n}{\to} \operatorname{Pic}(X), \end{aligned} $$ 其中 $\operatorname{Pic}(X) = H^1(X,\mathbb G_m)$ 为 Picard 群. 这个结论也可以表述为正合列 $$ 0 \to \mathcal O(X)^* / (\mathcal O(X)^*)^n \to H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mu_n) \to \operatorname{Pic}(X)_n \to 0. $$

设 $X$ 为代数闭域 $k$ 上的完备光滑曲线, 则 Picard 群分解为 $\operatorname{Pic}^0(X)\oplus \mathbb{Z}$, 而 $\operatorname{Pic}^0(X) \simeq \operatorname{Jac}(X)(k)\simeq (\mathbb{Z}/n)^{2g}$, $\operatorname{Jac}(X)$ 为 Jacobi 簇.

结论. 设 $X$ 为代数闭域 $k$ 上亏格为 $g$ 的完备连通光滑曲线, 正整数 $n$ 在 $k$ 中可逆, 则 $$ H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mu_n)\simeq H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mathbb{Z}/n)\simeq (\mathbb{Z}/n)^{2g}. $$