Wiki. “标量扩张” [标量扩张]

标量扩张在几何上对应丛的拉回.

定义

设 $f\colon R \to S$ 为环同态, 那么 $S$ 可视为 (左 $S$) 右 $R$-模. 对于左 $R$-模 $M$, 定义左 $S$-模 $$ f_! M = S \otimes_R M, $$ 称之为诱导模 (induced module), 或标量扩张 (extension of scalars).

性质

标量扩张是标量限制的左伴随: 由张量-同态伴随, 对于左 $S$-模 $N$, $$ \operatorname{Hom}_S(S\otimes_R M,N)\simeq\operatorname{Hom}_R(M,\operatorname{Hom}_S(S,N)). $$ 其中 $S$ 视为左 $S$ 右 $R$ 模.

考虑 $f\colon R\to S$ 对应的仿射概形的映射 $\varphi\colon \operatorname{Spec}S\to\operatorname{Spec}R$, 则标量扩张对应于六函子中的逆像 $\varphi^*\colon \operatorname{QCoh}(\operatorname{Spec}S) \to \operatorname{QCoh}(\operatorname{Spec}R)$.

例

复化是关于 $\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 的标量扩张.

相关概念

张量-同态伴随