Wiki. “六函子” [六函子]

对于空间 (拓扑空间, 概形, 等等) 的态射 $f\colon X\to Y$, 许多有关上同调的事实可由很少几条公理导出.

定义

Grothendieck 六函子是以下三对伴随:

• 对于态射 $f\colon X\to Y$ 有逆像 (inverse image) - 直像 (direct image) 伴随 $f^* \dashv f_*$;
• 对于分离态射 $f\colon X\to Y$ 有紧支集直像 (又叫紧支集前推, pushforward with compact support) - 紧支集逆像 (Verdier 对偶) 伴随 $f_! \vdash f^!$;
• 张量积与内蕴 Hom 伴随 $-\otimes X \vdash [X,-]$.

这些概念通常使用导出范畴来描述, 从而最后一对函子实际上是 Tor 和 Ext.

导出范畴中的六函子为

• 右导出前推 $Rf_*$ 和左导出拉回 $Lf^*$;
• $Rf_! \dashv f^!$ (后者是正合函子);
• 右导出 Hom $R\mathcal{Hom}$ 和左导出张量积 $X\overset{L}{\otimes}-$.

性质

存在自然变换 $f_! \to f_*$, 且当 $f$ 为紧合映射时为自然同构.

紧空间上的凝聚层范畴有良好的六函子.