Wiki. “Poincaré–Verdier 对偶” [Poincaré--Verdier对偶]

Verdier 对偶使用了 Grothendieck 六函子.

Poincaré 对偶

设 $M$ 是 $n$ 维紧可定向流形, 则有典范同构 $$ H^k(M;\mathbb{Z})\to H_{n-k}(M;\mathbb{Z}). $$ 对于非紧流形, 其紧支集上同调也有类似结论.

由 Verdier 对偶得到 Poincaré 对偶

设 $X$ 为紧可定向 $n$ 维流形, $k$ 为域, 令 $f$ 为 $X$ 到一个点的映射. 全局 Verdier 对偶给出 $$ [Rf_! k_X,k] \simeq [k_X,p^! k]. $$

考虑常值层 $k_X$ 的内射消解 $$ k_X \to I_0 \to I_1 \to \cdots, $$

Grothendieck 对偶

设 $f\colon X\to Y$ 是光滑概形的紧合映射. 定义相对维数 (relative dimension) $\dim f = \dim X - \dim Y$. 定义相对对偶丛 (relative dualizing bundle) $$ \omega_f := \omega_X \otimes f^* \omega_Y^*. $$ 定理. 对 $\mathcal F^\bullet \in D^b(X)$, $\mathcal E^\bullet\in D^b(Y)$, $$ Rf_* R\mathcal Hom(\mathcal F^\bullet, Lf^* (\mathcal E^{\bullet})\otimes \omega_f [\dim f]) \simeq R \mathcal Hom(Rf_* \mathcal F^\bullet, \mathcal E^\bullet). $$ 引入函子 $f^!\colon D^b(Y)\to D^b(X)$, $$ f^! \mathcal E^\bullet := Lf^* (\mathcal E^\bullet) \otimes \omega_f [\dim f]. $$ 推论. 函子 $Lf^*, f^!\colon D^b(Y)\to D^b(X)$ 分别是 $Rf_*$ 的左右伴随: $$ Lf^* \dashv Rf_* \dashv f^!. $$