Wiki. “直像” [直像]

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直像是六函子之一.

对拓扑空间 $X,Y$, 映射 $f\colon X\to Y$ 诱导直像函子 $f_*\colon \operatorname{Sh}(X)\to \operatorname{Sh(Y)}$. 直像是逆像函子 $f^*$ 的右伴随. 见直像-逆像伴随.

有人将前推写成 “积分” 符号. 这与 Fourier–向井变换有关.

定义

设 $f\colon X\to Y$ 是 Noether 概形的态射. 直像是左正合函子 $$ f_*\colon \mathsf {Qcoh}(X) \to \mathsf {Qcoh}(Y). $$

例

对于态射 $X\to \operatorname{pt}$, 直像相当于整体截面函子. 例如 $f\colon \mathbb A^1\to\text{pt}$. 那么 $$ f_*\mathcal O_{\mathbb A^1}= H^0(\mathbb A^1,\mathcal O_{\mathbb A^1})=K[T]. $$ $K[T]$ 是 $K$ 上的无限维空间, 这说明对于一般的态射, 直像不保持凝聚层.

对于紧合映射, 直像以及导出前推保持凝聚层.