Wiki. “标量限制” [标量限制]

定义

设 $f \colon R \to S$ 为环同态. 对于左 $S$-模 $M$, 通过 $f$ 可将其视为左 $R$-模, 这给出了标量限制 $$ f^* \colon S\mathsf {Mod} \to R\mathsf {Mod}. $$

标量限制也可定义为 $$ f^*M := \operatorname{Hom}_S(S,M), $$ 其中 $S$ 是左 $S$ 右 $R$ 模, $\operatorname{Hom}_S(S,M)$ 为左 $R$-模.

性质

标量限制是标量扩张的右伴随 (张量-同态伴随).

考虑 $f\colon R\to S$ 对应的仿射概形的映射 $\varphi\colon \operatorname{Spec}S\to\operatorname{Spec}R$, 则标量限制对应于六函子中的直像 $\varphi_*\colon \operatorname{QCoh}(\operatorname{Spec}S) \to \operatorname{QCoh}(\operatorname{Spec}R)$.