Wiki. “Frobenius 互反律” [Frobenius互反律]

Frobenius 互反律研究 $H$ 到 $G$ 的诱导表示中 $G$ 的不可约表示的重数.

陈述

特征理论

设 $G$ 为有限群, $H\subset G$ 为子群. 记 $\operatorname{Res}_H^G$ 为特征 (或类函数) 的限制, $\operatorname{Ind}_H^G$ 为类函数的诱导. 那么两者互为伴随, 即 $$ \langle \operatorname{Ind}_H^G\psi,\varphi \rangle_G = \langle \psi, \operatorname{Res}_H^G\varphi \rangle_H. $$

模论

设 $k$ 为域, $H\subset G$ 为子群, 那么 $$ \operatorname{Hom}_{k[G]}(k[G]\otimes_{k[H]}M,N) \simeq \operatorname{Hom}_{k[H]}(M,\operatorname{Hom}_{k[G]}(k[G],N)), $$ 这是张量-同态伴随的特例: $k[G]\otimes_{k[H]}-$ 是标量扩张, $\operatorname{Hom}_{k[G]}(k[G],-)$ 是标量限制.