Wiki. 高阶仿射性 [高阶仿射性]

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观念

高阶仿射性是仿射性的推广, $n$-仿射性大致是说一个几何对象 (Gestalt) 被其上某种 $n$-范畴值的层 (例如 $n$ 阶拟凝聚层) 决定.

定义

1-仿射性: 常值层-整体截面伴随

对于预叠 $X$, 有一对伴随 $\mathrm{L}_X \dashv \Gamma(X,-)$,

整体截面 $\Gamma(X,-) \colon 2\mathsf{QCoh}(X) \to \mathsf{Mod}(\mathsf{QCoh}(X))$, 其定义为 $$ \Gamma(X,F) = \lim_{S\in \mathsf{Aff}_{/X}}\Gamma(S,F), $$ 且 $\Gamma(X,F)$ 上自然带有 $\mathsf{QCoh}(X)$-模结构;
整体截面的左伴随 (“常值层”) $\mathrm{L}_X \colon \mathsf{Mod}(\mathsf{QCoh}(X)) \to 2\mathsf{QCoh}(X)$, 其定义为 $$ \Gamma(S,\mathrm{L}_X(G)) = \mathsf{QCoh}(S)\otimes_{\mathsf{QCoh}(X)} G. $$

定义 (Gaitsgory 定义 1.3.7). 若 $\Gamma(X,-)$ 与 $\mathrm{L}_X$ 互逆, 则称 $X$ 为 $1$-仿射预叠.

1-仿射性: 抽象定义

Montagnani–Pavia 对最抽象的 ∞-景上的层定义了 $1$-仿射性. 设有 ∞-景 $\mathcal C$ 上的对称幺半范畴层 $$ D \colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}), $$ 定义其范畴化为如下将 $\mathcal C$ 的对象对应到余完备范畴的函子 $$ D^{\mathrm{cat}}\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Cat}_{\mathrm{cocomp}}, $$ $$ U \mapsto \mathsf{Mod}(D(U)). $$

设 $\iota\colon \mathcal C \to \widehat {\mathcal C}$ 为稠密嵌入 (如米田嵌入), 有两种方式将 $D$ 的范畴化扩张至 $\widehat {\mathcal C}$:

先将右 Kan 扩张至 $\widehat {\mathcal C}$, 再范畴化;
先范畴化, 再右 Kan 扩张至 $\widehat {\mathcal C}$.

这两个过程所得的函子未必相同, 但对 $X\in\widehat {\mathcal C}$ 有一自然比较 $$ \mathsf{Mod}(\operatorname{RKE}_{\iota}D(X)) \to \operatorname{RKE}_{\iota} D^{\mathrm{cat}}(X). $$ 当这个比较映射为等价时, 称 $X$ 为 $1$-仿射对象.

高阶仿射性与单子性的联系

高阶仿射性可以描述为整体截面函子的单子性.

定义 (Stefanich 14.3.6, 14.3.7). 设 $n\geq 2$, 对于预叠 $X$, 若整体截面 $\Gamma(X,-)\colon (n+1)\mathsf{QCoh}(X)\to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{L}$ 单子性, 则称 $X$ 为 $n$-仿射预叠. 称预叠的态射 $f\colon X\to Y$ 为 $n$-仿射态射, 是指对任意仿射概形 $S$ 到 $Y$ 的映射, $X\times_Y S$ 为 $n$-仿射预叠.

定义 (Stefanich 14.3.8). 在 $n=1$ 的情形, 称满足如下条件的预叠 $X$ 为 $1$-仿射: 拉回函子 $\pi^*\colon \mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}_{\mathrm{st}}= 2\mathsf{QCoh}(\operatorname{Spec}(\mathbb{S})) \to 2\mathsf{QCoh}(X)$ 具有一个单子性的右伴随.

1-仿射性的判定

Gaitsgory 引入了 $1$-仿射性的一些判定条件.

例

定理 (Gaitsgory 定理 2.2.2). 对于有限型仿射代数群 $G$, 其逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 为 $1$-仿射叠.

证明的大致思路是, 约化到 $\mathrm{GL}_n$, 此时由定理 6.3.7, 仅需证明

定理 (Gaitsgory 定理 2.5.7). 对于线性空间 $V$, 视为 $\mathsf{PreStk}$ 中的 $\mathbb{E}_\infty$-群, 其高阶逆环路空间

$\mathbf{B}V$ 是 $1$-仿射叠.
$\mathbf{B}^2V$ 是 $1$-仿射叠.
$\mathbf{B}^3V$ 是 $1$-仿射叠.
$\mathbf{B}^4V$ 不是 $1$-仿射叠.