Wiki. 淡中对偶 [淡中对偶]

陈述

对称幺半线性范畴

固定代数闭域 $k$ 作为基域, 定义淡中范畴 (Tannakian category) 为紧生成的对称幺半 $k$-线性 Abel 范畴, 满足 $\operatorname{End}(1)\simeq k$. 那么仿射群概形 (的分类叠) 对偶于淡中范畴:

• 对于仿射群概形 $G$ 的分类叠 $X = * / G$, 其上拟凝聚层的范畴 $\mathsf{QCoh}(X) = \mathsf{Rep}(G)$ 为淡中范畴;
• 对于淡中范畴 $(\mathcal C,\otimes)$, 叠 $A \mapsto \mathsf{Fun}^{\otimes, \mathrm{colim}} (\mathcal C,\mathsf{Mod}(A))$ 为某代数群的分类叠.

充实范畴

设 $\mathcal V$ 为闭对称幺半范畴, $A$ 为其中的幺半群, 其对应一个 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathbf{B}A$; 记 $A$-模范畴为 $$ \mathsf{Mod}(A) := [\mathbf{B}A, \mathcal V]. $$ 将 $\mathcal V$-充实函子 $\mathbf{B}A\to\mathcal V$ 取值于 $\mathbf{B}A$ 的唯一对象, 给出遗忘函子 (即所谓纤维函子) $$ F \colon \mathsf{Mod}(A)\to\mathcal V. $$

定理. 由函子 $F$ 可重构出代数 $A$: $$ \operatorname{End}(F) \simeq A. $$