Wiki. “Banach 范畴” [Banach范畴]

加性范畴上的 Banach 结构是其每个态射空间上的 Banach 空间结构, 满足态射的复合 $$ \operatorname{Hom}(X,Y) \times \operatorname{Hom}(Y,Z) \to \operatorname{Hom}(X,Z) $$ 是连续映射. 带有 Banach 结构的加性范畴称为 Banach 范畴.

例

最重要的例子是向量丛范畴: 设 $X$ 是紧空间, 则 $X$ 上的向量空间范畴 $\mathcal E(X)$ 有 Banach 结构.

有趣的是, 空间上的向量丛范畴等价于代数上的模范畴 (这是代数-几何对偶的一例):

定理. 设 $X$ 是紧空间, $A=C(X)$ 是 $X$ 上的 (实数或复数值) 连续函数的 Banach 代数, 以 $\mathcal P(A)$ 表示 $A$-代数范畴, 那么全局截面函子给出了范畴等价 $\mathcal E(X) \to \mathcal P(A)$.

证明.